Question

6、AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠B的平行线交AD于M，交AC于N．求证：AB²-AN²=BM•BN．

Answer 1

分析：因AB²-AN²=（AB+AN）（AB-AN）=BM•BN，而由题设易知AM=AN，联想割线定理，构造辅助圆即可证得结论．

解答：证明：如图，∵∠2+∠3=∠4+∠5=90°，
又∠3=∠4，∠1=∠5，
∴∠1=∠2．从而，AM=AN．
以AM长为半径作⊙A，交AB于F，交
BA的延长线于E．则AE=AF=AN．
由割线定理有
BM•BN=BF•BE
=（AB+AE）（AB-AF）
=（AB+AN）（AB-AN）
=AB²-AN²，
即AB²-AN²=BM•BN．

点评：本题主要考查了切割线定理，解决的关键是利用割线定理得到BM•BN=BF•BE，注意到BF=AB+AN，而BE=AB-AN是解题关键．