Question

20．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE．直线CE的关系式是y=-$\frac{1}{2}$x+8，与x轴相交于点F，且AE=3．
（1）求OC长度；
（2）求点B'的坐标；
（3）求矩形ABCO的面积．

Answer 1

分析 （1）在直线y=-$\frac{1}{2}$x+8中令x=0可求得C点坐标，则可求得OC长度；
（2）由折叠的性质可求得B′E，在Rt△AB′E中，可求得AB′，再由点E在直线CF上，可求得E点坐标，则可求得OA长，利用线段和差可求得OB′，则可求得点B′的坐标；
（3）由（1）、（2）可求得OC和OA，可求得矩形ABCO的面积．

解答 解：
（1）∵直线y=-$\frac{1}{2}$x+8与y轴交于点为C，
∴令x=0，则y=8，
∴点C坐标为（0，8），
∴OC=8；
（2）在矩形OABC中，AB=OC=8，∠A=90°，
∵AE=3，
∴BE=AB-BE=8-3=5，
∵是△CBE沿CE翻折得到的，
∴EB′=BE=5，
在Rt△AB′E中，AB′=$\sqrt{B′{E}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
由点E在直线y=-$\frac{1}{2}$x+8上，设E（a，3），
则有3=-$\frac{1}{2}$a+8，解得a=10，
∴OA=10，
∴OB′=OA-AB′=10-4=6，
∴点B′的坐标为（0，6）；
（3）由（1），（2）知OC=8，OA=10，
∴矩形ABCO的面积为OC×OA=8×10=80．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及直线与坐标轴的交点、轴对称的性质、勾股定理、矩形的性质及方程思想等知识点．在（1）中注意求与坐标轴交点的方法，在（2）中求得E点坐标是解题的关键．本题涉及知识点不多，综合性不强，难度不大，较容易得分．