题目内容
如图，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点
Q，P移动的时间为t秒．
（1）设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（2）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？
（3）在P、Q的运动过程中，△APQ能否构成等腰三角形？如能求出t，如不能，说明理由．
Q，P移动的时间为t秒．（1）设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（2）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？
（3）在P、Q的运动过程中，△APQ能否构成等腰三角形？如能求出t，如不能，说明理由．
分析：（1）根据已知条件求出AB的长，再过点Q作QH⊥AC，交AC与点H，的长△QHA∽△BCA，求出
=
，即可求出QH的值，最后求S△APQ的值；
（2）先分两种情况进行讨论，当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，求出t的值和当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，求出t的值，经检验它们都符合题意即可；
（3）此题分三种情况进行讨论；①当AP=AQ时，得出t的值；②当AQ=QP时，先过Q作QH⊥AC，得出△QHA∽△BCA，即可求出
=
，得出AH的值，最后求出t的值；③当AP=QP时，先过P作QM⊥AB，得出△APM∽△BCA，求出
=
，得出AM的值，即可求出t的值；
| QH |
| BC |
| AQ |
| AB |
（2）先分两种情况进行讨论，当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，求出t的值和当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，求出t的值，经检验它们都符合题意即可；
（3）此题分三种情况进行讨论；①当AP=AQ时，得出t的值；②当AQ=QP时，先过Q作QH⊥AC，得出△QHA∽△BCA，即可求出
| AH |
| AC |
| AQ |
| AB |
| AM |
| AC |
| AP |
| AB |
解答：
解：（1）∵BC=8，AC=6，得AB=10，
∴AP=t，CP=6-t，BQ=2t，AQ=10-2t，
过点Q作QH⊥AC，交AC与点H，
∴△QHA∽△BCA，
∴
=
，
∴
=
，
∴QH=8-
t，
∴S△APQ=
AP•QH=
t（8-
t）=4t-
t2；
（2）当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，
=
，
∴
=
，
∴t=
；
当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，
∴
=
，
∴
=
，
∴t=
，
当t为
或
时，经检验，它们都符合题意，此时△AQP∽△ABC相似；
（3）当AP=AQ时，t=10-2t，解得t=
；
当AQ=QP时，过Q作QH⊥AC，交AC于H点，
∴△QHA∽△BCA，
∴
=
，
∴
=
，
∴AH=6-1.2t，
∴t=2（6-1.2t），
∴t=
；
当AP=QP时，过P作PM⊥AB，交AB于M点，
∴△APM∽△BCA，
∴
=
，
∴
=
，
∴AM=
t，
∴10-2t=2×
t，
解得：t=
；
当t=
或
或
时，△APQ能构成等腰三角形．
解：（1）∵BC=8，AC=6，得AB=10，∴AP=t，CP=6-t，BQ=2t，AQ=10-2t，
过点Q作QH⊥AC，交AC与点H，
∴△QHA∽△BCA，
∴
| QH |
| BC |
| AQ |
| AB |
∴
| QH |
| 8 |
| 10-2t |
| 10 |
∴QH=8-
| 8 |
| 5 |
∴S△APQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 8 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
（2）当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，
| AQ |
| AB |
| AP |
| AC |
∴
| 10-2t |
| 10 |
| t |
| 6 |
∴t=
| 30 |
| 11 |
当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，
∴
| AQ |
| AC |
| AP |
| AB |
∴
| 10-2t |
| 6 |
| t |
| 10 |
∴t=
| 50 |
| 13 |
当t为
| 30 |
| 11 |
| 50 |
| 13 |
（3）当AP=AQ时，t=10-2t，解得t=
| 10 |
| 3 |
当AQ=QP时，过Q作QH⊥AC，交AC于H点，
∴△QHA∽△BCA，
∴
| AH |
| AC |
| AQ |
| AB |
∴
| AH |
| 6 |
| 10-2t |
| 10 |
∴AH=6-1.2t，
∴t=2（6-1.2t），
∴t=
| 60 |
| 17 |
当AP=QP时，过P作PM⊥AB，交AB于M点，
∴△APM∽△BCA，
∴
| AM |
| AC |
| AP |
| AB |
∴
| AM |
| 6 |
| t |
| 10 |
∴AM=
| 3 |
| 5 |
∴10-2t=2×
| 3 |
| 5 |
解得：t=
| 25 |
| 8 |
当t=
| 10 |
| 3 |
| 60 |
| 17 |
| 25 |
| 8 |
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质；此题运用函数的思想，列出函数表达式，再利用函数列出表达式代入数值进行求解，关键是第三步分三种情况进行讨论，不要漏掉．
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