Question

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=ax²+bx+1（a≠0）的图象与x的正半轴交于点A，与x的负半轴交于点B，与y轴交于点C．△PAC中，P（1，-1），∠P=90°，PA=PC．
（1）求点A的坐标．
（2）将△PAC沿AC翻折，若点P的对应点Q恰好落在函数y=ax²+bx+1（a≠0）的图象上，求a与b的值．
（3）将△ACO绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，在x轴上取一点M，将∠PMD沿PM翻折，若点D的对应点F恰好落在x轴上，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求出点C的坐标，根据PA=PC，即可求出点A的坐标；
（2）先求出直线AC的解析式，然后根据点Q和点P关于直线AC对称轴求出点Q的坐标，再列出关于a和b的二元一次方程组，求出a和b的值；
（3）先求出点D的坐标，设点M（m，0），由PD=PF得，F（-1，0）或F（3，0），再根据MD=MF求出m的值．

解答 解：（1）设点A的坐标为（a，0），
∵y=ax²+bx+1，
∴C（0，1），
∵P（1，-1），PA=PC，
∴$\sqrt{1+（-1-1）^{2}}$=$\sqrt{（a-1）^{2}+1}$，
∴a=3或a=-1，
∴点A的坐标为（3，0）；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{3}$，b=1，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1，
设点Q的坐标为（m，n），
∵点Q和点P关于直线AC对称轴，
∴Q（2，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+1=0}\\{4a+2b+1=2}\end{array}\right.$，
解得a=$-\frac{5}{6}$，b=$\frac{13}{6}$；

（3）解：D（2，-3），
设点M（m，0），
由PD=PF得，F（-1，0）或F（3，0），
当点F（-1，0）时，由MD=MF得，（m-2）²+3²=（m+1）²，解得m=2，
当点F（3，0）时，由MD=MF得，（m-2）²+3²=（m-3）²，解得m=-2，
因此点M的坐标为（2，0）或（-2，0）．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题，此题涉及到了翻折变换、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握对称的性质，此题有一定的难度．