Question

如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC=4，AB=1，点P是线段BC （不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．
（1）如图1，若BP=3，求△ABP的周长．
（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由．
（3）若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，则B′D=

13

．（请直接写出答案）

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理直接求出AP的值就可以求出结论；
（2）延长线段AP、DC交于点E，就可以得出△DPA≌△DPE，就有AP=PE，在证明△APB≌△EPC就可以得出结论；
（3）连接AB′，PB′，作B′E⊥CD于E，就可以得出PB′=CE=1，DE=2，在Rt△B′DE中由勾股定理就可以求出结论．

解答：解：（1）∵AB⊥BC∴∠ABP=90°，
∴AP²=AB²+BP²，
∴AP=

AB2+BP2

=

12+32

=

10

，
∴AP+AB+BP=

10

+1+3=

10

+4，
∴△APB的周长为

10

+4；

（2）PB=PC，
理由如下：
延长线段AP、DC交于点E
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠EDP．
∵DP⊥AP，
∴∠DPA=∠DPE=Rt∠．
在△DPA和△DPE中，

∠ADP=∠EDP DP=DP ∠DPA=∠DPE

，
∴△DPA≌△DPE（ASA），
∴PA=PE．       
∵AB⊥BP，CM⊥CP，
∴∠ABP=∠ECP=Rt∠．
在△APB和△EPC中，

∠ABP=∠ECP ∠APB=∠EPC PA=PE

，
∴△APB≌△EPC（AAS），
∴PB=PC；                          

（3）∵△PDC是等腰三角形，∠C=90°，
∴PC=CD，∠DPC=∠PDC=45°．
∵DP⊥AP，
∴∠APD=90°，
∵∠APB+∠DPC=90°．
∴∠APB=45°°
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=45°，
∴∠BAP=∠BPA，
∴AB=PB=1．
∴PC=3
∵点B与点B′关于AP 对称，
∴△ABP≌AB′P，
∴BP=PB′=1．AB=AB′．
∵∠B=90°，
∴四边形ABPB′是正方形，
∴∠BPB′=90°，
∴∠B′PC=90°，
∵B′E⊥CD，
∴∠B′EC=90°．
∴四边形B′PCE是矩形，
∴PB′=CE=1，B′E=PC=3
∴DE=2，
在Rt△B′DE中，由勾股定理，得
B′D=

13

．
故答案为：

13

．

点评：本题考查了勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，轴对称的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，矩形的性质的运用，解答时正确添加辅助线，灵活运用勾股定理是关键．