Question

(1)如图24­3­7(1)，在圆内接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的；

(2)如图24­3­7(2)，若∠DOE保持120°不变，求证：当∠DOE绕着点O旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是△ABC面积的.

               

(1)                          (2)

Answer 1

证明：(1)连接OA，OC.

∵点O是等边三角形ABC的外心，

∴Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA.

∴S_{四边形OFCG}＝2S_△OFC＝S_△OAC.

∵S_△OAC＝S_△ABC，

∴S_{四边形OFCG}＝S_△ABC.

(2)如图D37，连接OA，OB和OC.

图D37

则△AOC≌△COB≌△BOA，∠1＝∠2.

不妨设OD交BC于点F，OE交AC于点G.

∵∠AOC＝∠3＋∠4＝120°，

∠DOE＝∠5＋∠4＝120°，

∴∠3＝∠5.

在△OAG和△OCF中，

∴△OAG≌△OCF.

∴S_{四边形OFCG}＝S_△AOC＝S_△ABC.