Question

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．
（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；

（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：

①∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；
②直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．

Answer 1

（1）PC=2；（2）①∠PEF的大小不变．②

试题分析：（1）先根据勾股定理求得PB的长，再利用互余关系证得△APB∽△DCP，最后根据相似三角形的性质及即可求得结果；
（2）①过F作FG⊥AD，垂足为G，同（1）的方法证明△APB∽△DCP，得相似比，再利用锐角三角函数的定义求值；
②如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF的中点O₁，O₂，连接O₁O₂，线段O₁O₂即为线段EF的中点经过的路线长，也就是△BPC的中位线．
（1）在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2，
∴PB=，．
∵，
∴．
∴．
∴ △ABP∽△DPC．
∴，即．
∴PC=2；
（2）①∠PEF的大小不变．
理由：过点F作FG⊥AD于点G．

∴四边形ABFG是矩形
∴
∴GF=AB=2，
∵
∴
∴
∴ △APE∽△GFP
∴
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=
即tan∠PEF的值不变
∴∠PEF的大小不变．
②如图所示：
 
设线段EF的中点为O，连接OP，OB，
∵在Rt△EPF中，OP=EF，
在Rt△EBF中，OB=EF，
∴OP=OB=EF，
∴O点在线段BP的垂直平分线上，
∴线段EF的中点经过的路线长为
点评：解答本题的关键是熟记相似三角形的对应边成比例，注意对应字母写在对应位置上.