Question

2．如图，已知点P为∠AOB的角平分线上的一点，点D在边OA上．爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边OB上取一点E，使得PE=PD，这时他发现∠OEP与∠ODP之间有一定的相等关系，请你写出∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系．

Answer 1

分析 结论：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180?以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E₂，连接PE₂，由△E₂OP≌△DOP（SAS），推出E₂P=PD，即此时点E₂符合条件，此时∠OE₂P=∠ODP；以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E₁，连接PE₁，则此点E₁也符合条件PD=PE₁，由PE₂=PE₁=PD，
推出∠PE₂E₁=∠PE₁E₂，由∠OE₁P+∠E₂E₁P=180°，∠OE₂P=∠ODP，推出∠OE₁P+∠ODP=180°，

解答 解：结论：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．
理由是：以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E₂，连接PE₂，

∵在△E₂OP和△DOP中，
$\left\{\begin{array}{l}{O{E}_{2}=OD}\\{∠{E}_{2}OP=∠DOP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△E₂OP≌△DOP（SAS），
∴E₂P=PD，
即此时点E₂符合条件，此时∠OE₂P=∠ODP；
以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E₁，连接PE₁，
则此点E₁也符合条件PD=PE₁，
∵PE₂=PE₁=PD，
∴∠PE₂E₁=∠PE₁E₂，
∵∠OE₁P+∠E₂E₁P=180°，
∵∠OE₂P=∠ODP，
∴∠OE₁P+∠ODP=180°，
∴∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系是：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．