Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x，直线l₂：y=x，在直线l₁上取一点B，使OB=1，以点B为对称中心，作点O的对称点B₁，过点B₁作B₁A₁∥l₂，交x轴于点A₁，作B₁C₁∥x轴，交直线l₂于点C₁，得到四边形OA₁B₁C₁；再以点B₁为对称中心，作O点的对称点B₂，过点B₂作B₂A₂∥l₂，交x轴于点A₂，作B₂C₂∥x轴，交直线l₂于点C₂，得到四边形OA₂B₂C₂；…；按此规律作下去，则四边形OA_nB_nC_n的面积是　　．

Answer 1

解：∵直线l：y=x，直线l₂：y=x，

∴直线l₁与x轴夹角为30°，直线l₂与x轴夹角为60°，B为l₁上一点，且OB=1，

根据题意可知：OB=1，OB₁=2，OB₂=4，OB₃=8，OB₄=16，..OB_n=2ⁿ，四边形OA₁B₁C₁、四边形OA₂B₂C₂、四边形OA₃B₃C₃…是菱形，

∵∠A₁OC₁=60°，

∴△OA₁C₁，△OA₂C₂，△OAC，△OA₃C₃，…△OA_nC_n是等边三角形，

∴OA₁=A₁C₁，OA₂=A₂C₂，OA₃=A₃C₃…OA_n=A_nC_n，

∵OA₁=A₁C₁=，OA₂=A₂C₂=，OA₃=A₃C₃=，…OA_n=A_nC_n=

∴四边形OA_nB_nC_n的面积=A_nC_n•OB_n=××2ⁿ=．