题目内容

在△ABC和△FED中，如果∠A=∠F，∠B=∠E，要使这两个三角形全等，还需要的条件是（　　）

A. AB=DE B. BC=EF C. AB=FE D. ∠C=∠D

C 【解析】试题解析：A. 加上AB=DE，不能证明这两个三角形全等，故此选项错误； B. 加上BC=EF，不能证明这两个三角形全等，故此选项错误； C. 加上AB=FE，可用证明两个三角形全等，故此选项正确； D. 加上∠C=∠D，不能证明这两个三角形全等，故此选项错误； 故选C.
练习册系列答案
相关题目

如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．

（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．

下面是两位学生有代表性的证明思路：

思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；

思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…

请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；

（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求的值；

（3）在（2）的条件下，若=k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】试题分析：（1）证法一，利用菱形性质得AB=CD，AB∥CD，利用平行四边形的性质得AB=EF，AB∥EF，则CD=EF，CD∥EF，再根据平行线的性质得∠CDM=∠FEM，则可根据“AAS”判断△CDM≌△FEM，所以DM=EM；

证法二，利用菱形性质得DH=BH，利用平行四边形的性质得AF∥BE，再根据平行线分线段成比例定理得到=1，所以DM=EM；

（2）由△CDM≌△FEM得到CM=FM，设AD=a，CM=b，则FM=b，EF=AB=a，再证明四边形ABCD为正方形得到AC=a，接着证明△ANF为等腰直角三角形得到NF=a+b，则NE=NF+EF=2a+b，然后计算的值；

（3）由于= ==k，则 =，然后表示出 ==，再把 =代入计算即可．

试题解析：【解析】
（1）如图1，证法一：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=CD，AB∥CD，∵四边形ABEF为平行四边形，∴AB=EF，AB∥EF，∴CD=EF，CD∥EF，∴∠CDM=∠FEM，在△CDM和△FEM中，∵∠CMD=∠FME，∠CDM=∠FEM，CD=EF，∴△CDM≌△FEM，∴DM=EM，即点M是DE的中点；

证法二：∵四边形ABCD为菱形，∴DH=BH，∵四边形ABEF为平行四边形，∴AF∥BE，∵HM∥BE，∴ =1，∴DM=EM，即点M是DE的中点；

（2）∵△CDM≌△FEM，∴CM=FM，设AD=a，CM=b，∵∠ABE=135°，∴∠BAF=45°，∵四边形ABCD为菱形，∴∠NAF=45°，∴四边形ABCD为正方形，∴AC=AD=a，∵AB∥EF，∴∠AFN=∠BAF=45°，∴△ANF为等腰直角三角形，∴NF=AF=（a+b+b）=a+b，∴NE=NF+EF=a+b+a=2a+b，∴ = =；

（3）∵= ==k，∴=，∴ =，∴ == ==．

点睛：本题考查了相似形的综合题：熟练掌握平行线分线段成比例定理、平行四边形和菱形的性质；灵活利用全等三角形的知识解决线段相等的问题；会利用代数法表示线段之间的关系．

【题型】解答题
【结束】
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问题背景

在数学活动课上，张老师要求同学们拿两张大小不同的矩形纸片进行旋转变换探究活动．如图 1，在矩形纸片ABCD 和矩形纸片EFGH中，AB＝1，AD＝2，且FE＞AD，FG＞AB，点E 是 AD 的中点，矩形纸片 EFGH 以点E 为旋转中心进行逆时针旋转，在旋转过程中会产生怎样的数量关系，提出恰当的数学问题并加以解决．

解决问题

下面是三个学习小组提出的数学问题，请你解决这些问题．

（1）“奋进”小组提出的问题是：如图 1，当 EF 与 AB 相交于点 M，EH 与 BC 相交于点 N 时，求证：EM=EN．

（2）“雄鹰”小组提出的问题是：在（1）的条件下，当 AM=CN 时，AM 与 BM 有怎样的数量关系，请说明理由．

（3）“创新”小组提出的问题是：若矩形 EFGH 继续以点 E 为旋转中心进行逆时针旋转，当 时，请你在图 2 中画出旋转后的示意图，并求出此时 EF 将边 BC 分成的两条线段的长度．

（1）证明见解析；（2）AM=BN；（3）EF 将边 BC 分成的两条线段的长度为 ． 【解析】试题分析：（1）过点 E 作 ，垂足为点P，根据已知条件证出PE=AE，再证得∠PEN=∠AEM，进而得到△PEN≌△AEM，即可证得结论；（2）易证PN=CN= PC，进而求出PN=CN=，再判断出AM=PN=，即可得出BM=，从而证得结论；（3）在Rt△PEM中，求出PM的长，再用线段的和差即...

小强的年龄比妈妈小33岁，今年妈妈的年龄正好是小强的4倍，小强今年的年龄是

A. 10岁 B. 11岁 C. 12岁 D. 13岁

B 【解析】【解析】 设小强的年龄为x岁，则妈妈的年龄为4 x岁，由题意得：4 x - x =33，解得：x =11．故选B．

如图，已知OC平分∠AOB，CD//OB，若OD=3cm，则CD=___________cm.

3 【解析】CD//OB， ∠C=∠COB, OC平分∠AOB, , CD=OD=3.

点A（2，﹣1）关于x轴的对称点A′的坐标是_____．

（2，1） 【解析】点A（2，-1）关于x轴的对称点A′的坐标是：（2，1）.

下列图形是轴对称图形的是（　　）

A. B. C. D.

A 【解析】A是轴对称图形，B、C、D不是轴对称图形， 故选A．

解方程组： ．

【解析】试题分析：先对方程组进行化简后，再用代入消元法解． 试题解析： ， 整理得： ， 由④得： x=5y -3， 代入③得： 25y -15 -11y =-1， 14y =14， y=1， 则：x =5-3 =2， 综上： .

下列各组数中，是勾股数的是（ ）

A. 12，15，18 B. 12，35，36 C. 2，3，4 D. 5，12，13

D 【解析】A选项中，因为，所以A组数不是勾股数； B选项中，因为，所以B组数不是勾股数； C选项中，因为，所以C组数不是勾股数； D选项中，因为，所以D组数是勾股数； 故选D.

分式计算：①，②．

①原式；②原式． 【解析】试题分析： ①题是分式的除法运算，先根据分式的除法法则，变“除”为“乘”，再约分； ②题是分式的减法运算，观察可知，两个分式的分母互为相反数，通过变号可化为同分母分式的加法运算，再约分； 试题解析： ①原式． ②原式．

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