Question

如图，直线与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线．
（1）求A点的坐标及该抛物线的函数表达式；
（2）求出∆PBC的面积；
（3）请问在对称轴右侧的抛物线上是否存在点Q，使得以点A、B、C、Q所围成的四边形面积是∆PBC的面积的？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（1，0），．（2）3；（3）或

试题分析：（1）先由直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，求出B（3，0），C（0，3），再根据抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=2，求出与x轴的另一交点A的坐标为（1，0），然后将A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax²+bx+c，运用待定系数法即可求出该抛物线的函数表达式；
（2）先利用配方法将二次函数写成顶点式，得到顶点P的坐标，再设抛物线的对称轴交直线y=-x+3于点M，由PM∥y轴，得出M的坐标，然后根据S_△PBC=•PM•|x_C-x_B|即可求出△PBC的面积；
（3）设Q（m，m²-4m+3），首先求出以点A、B、C、Q所围成的四边形面积=S_△PBC=×3=．再分两种情况进行讨论：①当点Q在PB段时，由S_{四边形ACBQ}=S_△ABC+S_△ABQ=3+|y_Q|，得出|y_Q|=-3=，即-m²+4m-3=，解方程求出m的值，得到Q₁的坐标；②当点Q在BE段时，过Q点作QH⊥x轴，交直线于H，连结BQ．由S_{四边形ACQB}=S_△ABC+S_△CBQ=3+（m²-3m），得出（m²-3m）=-3=，解方程求出m的值，得到Q₂的坐标．
试题解析：（1）直线与x轴相交于点，
∴当时，，
∴点的坐标为．
又∵抛物线过轴两点，且对称轴为，根据抛物线的对称性，
∴点的坐标为．
∵过点，易知，
∴．
又∵抛物线过点，
∴解得   
∴．
（2）连结PB、PC，

由，得，
设抛物线的对称轴交直线于点，
又∵PM∥y轴，则,
则
（3）由图可知，点Q应分为两种情况，在PB段或在BE段。
      
又
设
当点Q在PB段时，,
∴，可知
∴，即，
解之，得,
又点Q在对称轴的右侧，则，
∴
当点Q在BE段时，过Q作QH⊥x轴，交直线于H，连结BQ，则设
,

又,
∴，解之，得
又点Q在对称轴的右侧，则，
∴
综上所述，当或时，点A、B、C、Q所围成的四边形面积是∆PBC的面积的．