题目内容
15．
已知反比例函数的两支图象关于原点对称，利用这一结论解集下列问题：如图，在同一直角坐标系中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象分别交于第一、三象限的点B、D，已知点A（-m，0）、C（m，0）．（1）填空：无论k值取何值时，四边形ABCD的形状一定是平行四边形；
（2）①当m=2，点B坐标为（p，1）时，四边形ABCD的形状一定是矩形；
②填空：对①中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有2个；
（3）四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标；若不能，说明理由．
分析 （1）根据对称的性质可得四边形ABCD的对角线互相平分，则一定是平行四边形；
（2）①把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求得p的值，利用待定系数法求得k的值，利用勾股定理求得OB的值，从而得出OA=OB=OC，得出∠ABC=90°；
②根据反比例函数图象的对称性，在反比例函数图象上，连线经过O，且连线等于AC的一定有两组，据此即可判断；
（3）根据四边形ABCD的对角线一定不能垂直即可判断．
解答 解：（1）根据对称性可得：OB=OD，
∵A（-m，0），C（m，0），
∴OA=OC
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案是：平行四边形；
（2）①∵点B（p，1）在y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$上，
∴1=$\frac{\sqrt{3}}{p}$，解得p=$\sqrt{3}$把B（$\sqrt{3}$，1）代入y=kx得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵OB2=（$\sqrt{3}$）2+12=4，
∴OB=2．
∵m=2，
∴OA=OC=2，
∴OA=OB=OC=2，
∴∠ABC=90°，
由（1）有，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形；
故答案为矩形；
②
由①得，m=2，
如图，作出第一、三象限的角的平分线，交反比例函数图象于点M、N．则MN的解析式是y=x．
当x=m=2时，反比例函数上对应的点是（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），直线y=x上对应的点是（2，2）．
∵2＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在OM的延长线上，即MN＜AC．
则能使四边形ABCD是矩形的点B共有2个，
故答案是：2；
（3）四边形ABCD不能是菱形．
理由是：∵A（-m，0）、C（m，0），
∴四边形ABCD的对角线AC在x轴上，
又∵点B、D分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点，
∴对角线BD和AC不可能垂直．
∴四边形ABCD不可能是菱形．
点评 本题考查了反比例函数的图象的对称性以及菱形的判定，正确理解正比例函数与反比例函数关于原点对称是关键．
如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2=60°．| 李明 | 83 | 76 | 88 | 82 | 85 | 90 |
| 张华 | 79 | 81 | 91 | 74 | 90 | 89 |
（2）请你理由统计的知识，说明哪位同学的成绩比较稳定．
如图，平行四边形ABCD的对角线AC=6cm，将平行四边形ABCD绕其对称中心旋转180°，求C点所转过的路径长．
如图，平面直角坐标系中有正方形OABC，点A的坐标为（1，2），则点C的坐标为（ ）| A． | （-3，1） | B． | （-2，1） | C． | （2，-1） | D． | （-2，0.5） |
如图，某校根据学生上学方式的一次抽样调查结果，绘制出一个未完成的扇形统计图，若乘车的学生有150人，则据此估计步行的有400人．
如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥AO，交BO于点N，连结ND、BM，设OP=t．