Question

【题目】已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；

（2）若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）三角形的三边为4、6、6或6、6、10．

【解析】

（1）计算方程的判别式大于等于0即可；

（2）由等腰三角形的性质有a＝b＝6、a＝c＝6或b＝c三种情况，当b＝6或c＝6时，可知x＝2为方程的一个根，代入可求得k的值，则可求得方程的根，可求得三边长；当b＝c时，可知方程有两个相等的实数根，由判别式等于0可求得k，同样可求得方程的两根，可求得三角形的三边长．

（1）证明：

∵一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，

∴△＝（3k+1）2﹣4（2k2+2k）＝9k2+6k+1﹣8k2+8k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，

∴无论k取何实数值，方程总有实数根；

（2）解：

∵△ABC为等腰三角形，

∴有a＝b＝6、a＝c＝6或b＝c三种情况，

①当a＝b＝6或a＝c＝6时，可知x＝6为方程的一个根，

∴62﹣6（3k+1）+2k2+2k＝0，解得k＝3或k＝5，

当k＝3时，方程为x2﹣10x+24＝0，解得x＝4或x＝6，

∴三角形的三边长为4、6、6，

当k＝5时，方程为x2﹣16x+60＝0，解得x＝6或x＝10，

∴三角形的三边长为6、6、10，

②当b＝c时，则方程有两个相等的实数根，

∴△＝0，即（k﹣1）2＝0，解得k1＝k2＝1，

∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，

此时三角形三边为6、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，

综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．