Question

【题目】综合与实践：再探平行四边形的性质

问题情境：

学完平行四边形的有关知识后，同学们开展了再探平行四边形性质的数学活动，以下是“希望小组”得到的一个性质：

如图1，已知平行四边形中，，于点，垂直于点，则．

问题解决：

（1）如图2，当时，还成立吗？证明你发现的结论；

（2）如图2，连接和，若．求的度数；

（3）如图3，若，，点是射线上一点，且.则_________．（用含的三角函数表示）

Answer 1

【答案】（1）还成立，证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）先根据平行四边形的性质、平行线的性质可得，再根据四边形的内角和可得，然后根据等量代换即可得证；

（2）由（1）可知，从而可得出四点共圆，再根据圆周角定理即可得；

（3）如图（见解析），如图，过点A作于点E，先根据菱形的判定与性质得出，，，再根据角的和差、等量代换可得，然后根据等腰三角形的判定与性质可得，最后在中，利用余弦三角函数的定义即可得．

（1）还成立，证明如下：

∵四边形是平行四边形

∴

∴

在四边形中，，，即

∴

∴；

（2）由（1）知，

则如图，四点共圆

由圆周角定理得：；

（3）如图，过点A作于点E

四边形ABCD是平行四边形，且

平行四边形ABCD是菱形

，，

又

是等腰三角形

（等腰三角形的三线合一）

则在中，

即

故答案为：．