Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，0）和点B（1，0），以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线PE，并与y轴交于点E．
（1）请直接写出点D的坐标：

 

；
（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（3）是否存在这样的点P，使得PD=PE？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据正方形的性质求出AD=AB=4，即可求出答案；
（2）证△DAP∽△POE，得出比例式，代入后得出二次函数的解析式，求出顶点坐标即可；
（2）分为两种情况：P在y轴的左侧，P在y轴的右边，证全等，根据全等三角形的性质得出AD=OP，即可得出答案．

解答：解：（1）∵A（-3，0），B（1，0），
∴AB=AD=4，
∴点D的坐标是（-3，4），
故答案为：（-3，4）；

（2）设PA=t，OE=y，
∵∠DAP=∠POE=∠DPE=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，∠APD+∠EPO=90°，
∴∠ADP=∠EPO，
∴△DAP∽△POE，
∴

4

3-t

=

t

y

，
∴y=-

1

4

t²+

3

4

t=-

1

4

（t-

3

2

）²+

9

16

，
∴当AP=t=

3

2

时，OE最大为

9

16

；

（3）当点P在y轴的左侧时，

在△PAD和△EOP中

∠DAP=∠POE AD=PE ∠ADP=∠EPO

∴△PAD≌△EOP（ASA），
∴OP=AD=4，
即P（-4，0）；
由△PAD≌△E0P
同理当点P在y轴的右侧时，

由△PAD≌△E0P推出OP=AD=4，
即P（4，0）．

点评：本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理和计算能力，用了分类讨论思想．