Question

在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-6，6），以A为顶点的∠BAC的两边始终与x轴交于B、C两点（B在C左面），且∠BAC=45°．
（1）如图1，连接OA，当AB=AC时，试说明：OA=OB．
（2）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，当DC=2时，将∠BAC沿AC所在直线翻折，翻折后边AB交y轴于点M，求点M的坐标．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,勾股定理,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）利用等腰三角形的性质求得∠BAO和∠ABC的读数，然后利用等校对等边即可证得；
（2）当点C在点D右侧时，连接CM，过点A作AF⊥y轴于点F，证明△BAD≌△MAF，在Rt△COM中，由勾股定理即可求得M的横坐标；
当点C在点D左侧时，连接CM，过点A作AF⊥y轴于点F，证明△BAD≌△MAF，同理，在Rt△COM中，由勾股定理即可求得M的横坐标．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°．
过点A作AE⊥OB于E，
则△AEO是等腰直角三角形，∠EAO=45°．
∵AB=AC，AE⊥OB，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=22.5°．
∴∠BAO=67.5°=∠ABC，
∴OA=OB．
（2）设OM=x．
当点C在点D右侧时，连接CM，过点A作AF⊥y轴于点F，
由∠BAM=∠DAF=90°，
可知：∠BAD=∠MAF；
∴在△BAD和△MAF中，

∠BDA=∠MAF AD=AF ∠BAD=∠MAF

，
∴△BAD≌△MAF．
∴BD=FM=6-x．
又∵AC=AC，∠BAC=∠MAC，
∴△BAC≌△MAC．
∴BC=CM=8-x．
在Rt△COM中，由勾股定理得：
OC²+OM²=CM²，即4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴M点坐标为（0，3）．
当点C在点D左侧时，连接CM，过点A作AF⊥y轴于点F，
同理，△BAD≌△MAF，
∴BD=FM=6+x．
同理，
△BAC≌△MAC，
∴BC=CM=4+x．
在Rt△COM中，由勾股定理得：
OC²+OM²=CM²，即8²+x²=（4+x）²，
解得：x=6，
∴M点坐标为（0，-6）．

点评：本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，和勾股定理的应用，正确进行分情况讨论，证明△BAD≌△MAF是关键．