题目内容

如图1，已知C、D是双曲线 $数学公式$ 在第一象限内的分支上两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B，CG⊥x轴于G，DH⊥x轴于H， $数学公式$ = $数学公式$ = $数学公式$ ，OC= $数学公式$ ．
（1）求m的值和D点的坐标；
（2）在双曲线第一象限内的分支上是否有一点P，使得S_△POC=S_△POD？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点K是双曲线 $数学公式$ 在第三象限内的分支上的一动点，过点K作KM⊥y轴于M，OE平分∠KOA，KE⊥OE，KE交y轴于N，直线ME交x轴于F，① $数学公式$ ，② $数学公式$ ，有一个为定值，请你选择正确结论并求出这个定值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ （已知），
∴设OG=a，GC=4a
∵OG²+GC²=OC²（勾股定理），OC= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴a²=1
∵a＞0，
∴a=1，
∴OG=1，GC=4，
∴C（1，4）；
把 C（1，4）代入 $\text{[math]}$ 得：m=1×4=4，即m=4；
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （已知）
∴设DH=b，OH=4b，
∴D（4b，b），
把D（4b，b）代入 $\text{[math]}$ 得：4b²=4b=1
∵b＞0，∴b=1
∴DH=1，OH=4，
∴D（4，1）；

（2）在双曲线第一象限内的分支上有一点P，使得S_△POC=S_△POD．
理由如下：由（1）知，C（1，4）、D（4，1），
∴DO=CO= $\text{[math]}$ （勾股定理）．

如图1，过P作PM⊥OC，PN⊥OD，
要使S_△POC=S_△POD
∴PM=PN，
∴P在∠COD的角平分线上；
在Rt△OGC和Rt△DHO中，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴Rt△OGC≌Rt△DHO（HL），
∴∠OCG=∠DOH（全等三角形的对应角相等）；
又∵CG∥BO，
∴∠OCG=∠BOC（两直线平行，内错角相等），
∴∠BOC=∠DOH（等量代换），即PO平分∠BOA，
∴∠POA=45°．
过P作PQ⊥x轴于点Q，则PQ=OQ．
故设P（a，a）（a＞0），则a= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得，a=2，
∴点P的坐标为（2，2）；

（3）结论①对， $\text{[math]}$ ；
证明如下：如图2，延长OE、KM交于Q，连接NQ．∵KM⊥y轴，

∴KM∥OF，
∴∠KQO=∠FOQ，
又∵OE平分∠KOA，
∴∠KQO=∠FOQ=∠KOQ（等量代换），
∴KQ=KO、OE=EQ
即KE是OQ中垂线，
∴ON=QN，
易证△OEF≌△QEM，
∴MQ=OF，
在Rt△MNQ中，QN²=MQ²+MN²，
即ON²=OF²+MN²
$\text{[math]}$ ．
分析：（1）设OG=a，GC=4a．在直角三角形OGC中根据勾股定理求得a的值，从而求得点C的坐标；然后利用待定系数法求得m值；最后利用反比例函数图象上点的坐标特征求得点D的坐标；
（2）过P作PM⊥OC，PN⊥OD．由三角形面积的等积转换推知PM=PN，根据角平分线的性质证得P在∠COD的角平分线上；然后通过全等三角形Rt△OGC≌Rt△DHO（HL）的对应角∠OCG=∠DOH、平行线的性质、等量代换推得PO平分∠BOA；最后由反比例函数图象上点的坐标特征可以求得点P（a，a）的坐标为（2，2）；
（3）结论①对， $\text{[math]}$ ；如图2，如图2，延长OE、KM交于Q，连接NQ．根据角平分线的性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质推知KQ=KO、OE=EQ，即KE是OQ中垂线，所以
ON=QN，易证△OEF≌△QEM，由全等三角形的对应边相等知MQ=OF；最后在Rt△MNQ中，根据勾股定理求得QN²=MQ²+MN²，即ON²=OF²+MN²．
点评：本题考查了反比例函数综合题．解题时，还借用了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．