Question

（2013•南京二模）在?ABCD中，AD=6，∠ABC=60°，点E在边BC上，过点E作直线EF⊥AB，垂足为点F，EF与DC的延长线相交于点H．
（1）如图1，已知点E是BC的中点，求证：以E为圆心、EF为半径的圆与直线CD相切；
（2）如图2，已知点E不是BC的中点，连接BH、CF，求梯形BHCF的面积．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的性质得出EH⊥CH，进而得出△BEF≌△CEH，EH=EF，即可得出答案；
（2）首先利用锐角三角函数关系求出梯形的高，进而利用梯形面积公式求出．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵∠EFB=90°，
∴∠EHC=90°，
∴EH⊥CH．
∵点E是BC的中点，
∴EB=EC．
∵在△BEF和△CEH中

∠BFE=∠CHE ∠FEB=∠CEH BE=EC

∴△BEF≌△CEH（AAS），
∴EH=EF，
∴EH是⊙E的半径．
∵直线CD过⊙E半径EH的外端点H，
∴直线CD与⊙E相切．

（2）解：由平行四边形的性质得出AD=BC=6，
∵∠ABC=60°，EF⊥AB，
∴∠CEH=∠FEB=30°，
∴EH=EC×cos30°，EF=BE×cos30°，
∴FH=EC×cos30°+BE×cos30°=6×

3

2

=3

3

，
设CH=x，则CE=2x，BE=6-2x，BF=3-x，
S_梯形BHCF=

1

2

×（CH+BF）×3

3

=

1

2

×（x+3-x）×3

3

=

9

2

3

．

点评：此题主要考查了切线的判定以及梯形的面积公式和全等三角形的判定与性质，根据已知得出梯形的高是解题关键．