Question

如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，正方形DEFG的一边EF在AB上，另一边FG过△ABC的内切圆圆心O₁，且点G在半圆弧上．设正方形DEFG的边长、半圆O的半径、⊙O₁的半径分别为a、R、r．
（1）若正方形DEFG的顶点D在半圆上，求a：R：r；
（2）若a=10，r=4，求R的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OD，根据正方形和圆的对称性可得OE=OF=EF，在Rt△ODE中利用勾股定理列式求解可得a=R，设BC、AC与⊙O₁的切点分别为M、N，可得四边形O₁MCN是正方形，根据正方形的性质可得MC=NC=r，设AF=x，BF=y，表示出AB、BC、AC，然后利用勾股定理列式整理得到x、y的关系，连接AG、BG可得△AGF和△GBF相似，利用相似三角形对应边成比例可得=，求出a²=xy，然后整理得到R、r的方程，解方程用R表示出r，然后求出比例即可；
（2）根据（1）的结论把a、r的值代入进行计算即可求出R的值．
解答：解：（1）连接OD，
根据圆和正方形的对称性可知：OE=OF=EF=a，
在Rt△ODE中，OD²=DE²+OE²，
即R²=a²+（a）²，
∴a²=R²，
解得a=R，
设BC、AC与⊙O₁的切点分别为M、N，可得四边形O₁MCN是正方形，
∴MC=NC=r，
设AF=x，BF=y，则AN=x，BM=y，
∴AB=x+y，BC=y+r，AC=x+r，
在Rt△ABC中，AB²=BC²+AC²，
即（x+y）²=（y+r）²+（x+r）²，
∴xy=yr+xr+r²，
∵AB=x+y=2R，
∴xy=2Rr+r²，
连接AG、BG，可得Rt△AGF∽Rt△GBF，
∴=，
即=，
∴a²=xy，
∴R²=2Rr+r²，
整理得，5r²+10Rr-4R²=0，
解得r₁=R，r₂=R（舍去），
∴a：R：r=R：R：R=2：5：（-5+3）；

（2）由（1）得，a²=2Rr+r²，
∵a=10，r=4，
∴100=2×4R+16，
解得R=．
点评：本题圆的综合题型，主要利用了正方形与圆的对称性，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆的内切圆的性质，切线长定理，作辅助线构造出相似三角形是解题的关键．