题目内容

阅读理解：对于任意正实数a，b，∵(
a
-
b
)2≥0，∴a-2
ab
+b≥0，∴a+b≥2
ab
，只有点a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2
ab
（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2
p
，只有当a=b时，a+b有最小值2
p
．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m=
 
时，m+
1
m
有最小值
 
；
（2）思考验证：如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上任意一点，（与点A，B不重合）．过点C作CD⊥AB，垂足精英家教网为D，AD=a，DB=b．
试根据图形验证a+b≥2
ab
，并指出等号成立时的条件．
分析：（1）可列式m+
1
m
≥2
m×
1
m
，求得相关值即可；
（2）易得△ACD∽△CBD可得CD与
ab
之间的关系，根据半径与a，b之间的等量关系，以及半径大于CD可得相关结论．
解答：解：（1）∵m+
1
m
≥2
m×
1
m
，
∴当m=1时，m+
1
m
有最小值2；（2分）精英家教网

（2）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB（1分），
∴CD2=AD•BD=ab（2分），
∵CD＞0，
∴CD=
ab
（1分），
∵r=
a+b
2
，
∴在Rt△OCD中，r=
a+b
2
＞CD，即
a+b
2
＞
ab
（1分），
∴a+b＞2
ab
（1分），
当CD=r即D与O重合时，
a+b
2
=
ab
，
即a+b=2
ab
，
∴a+b≥2
ab
．（2分）
点评：本题主要考查a+b≥2
ab
（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2
p
，只有当a=b时，a+b有最小值2
p
；注意运用类比的思想把相关知识加以运用．
练习册系列答案
相关题目
阅读理解：
对于任意正实数a，b，因为(
a
-
b
)2≥0，所以a-2
ab
+b≥0，所以a+b≥2
ab
，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2
ab
（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2
p
，只有当a=b时，a+b有最小值2
p
．
（1）根据上述内容，回答下列问题：若m＞0，只有当m=
 
时，m+
1
m
有最小值
 
；
（2）探索应用：如图，有一均匀的栏杆，一端固定在A点，在离A端2米的B处垂直挂着一个质量为8千克的重物．若已知每米栏杆的质量为0.5千克，现在栏杆的另一端C用一个竖直向上的拉力F拉住栏杆，使栏杆水平平衡．试精英家教网问栏杆多少长时，所用拉力F最小？是多少？
阅读理解：对于任意正实数a、b，∵(
a
-
b
)2≥0，∴a-2
ab
+b≥0，∴a+b≥2
ab
，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2
ab
（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2
p
，只有当a=b时，a+b有最小值2
p
．
根据上述内容，回答：若m＞0，只有当m=
 
时，m+
1
m
有最小值
 
．
精英家教网阅读理解：对于任意正实数a，b，
∵（
a
-
b
）2≥0，
∴a-2
ab
+b≥0，
∴a+b≥2
ab
，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2
ab
（a，b均为正实数）中，若ab为定值P，则a+b≥2
p
，
当a=b，a+b有最小值2
p
．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若x＞0，x+
4
x
的最小值为
 
．
（2）探索应用：如图，已知A（-2，0），B（0，-3），点P为双曲线y=
6
x
（x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
阅读理解：
对于任意正实数a，b，∵(
a
-
b
)2≥0，∴a-2
ab
+b≥0，∴a+b≥2
ab
，只有当a=b时，等号成立．若ab为定值P，则a+b≥2
P
，只有当a=b时，a+b有最小值2
P
．
（1）如图1，AB为半圆O的直径，C为半圆上的任意一点，（与点A、B不重合）过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD=a，DB=b．根据图象验证，a+b≥2
ab
，并指出等号成立时的条件．

（2）根据上述内容，回答下列问题
①若m＞0，只有当m=
1
1
时，m+
1
m
有最小值为
2
2
．
②如图2所示：A（-3，0），B（0，-4），P为双曲线y=
12
x
(x＞0)上任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时ABCD的形状．
阅读理解：
对于任意正实数a、b，∵(
a
-
b
)2≥0，∴a-2
ab
+b≥0，
∴a+b≥2
ab
，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2
ab
（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2
p
，只有当a=b时，a+b有最小值2
p
．
（1）根据上述内容，回答下列问题：
若m＞0，只有当m=
1
1
时，m+
1
m
有最小值
2
2
．
（2）探索应用：如图，已知A（-3，0），B（0，-4），P为双曲线y=
12
x
（x＞0）图象上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值．
（3）判断此时四边形ABCD的形状，说明理由．

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