Question

17．如图，在平行四边形ABCD中，联结BD，过点C作CO⊥BD．垂足为O．并延长CO至E，使OE=CO．
（1）联结BE、ED，如果BE⊥ED，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）联结AE、ED，求证：四边形ABDE是等腰梯形．

Answer 1

分析 （1）由线段垂直平分线的性质得出BC=BE，DC=DE，由等腰三角形的性质得出∠AEC=∠ACE，∠DEC=∠DCE，证出∠BCD=90°，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得出AB=DC，AD∥BC，∠BAD=90°，得出∠ADB=∠CBD，由等腰三角形的性质得出∠EBD=∠CBD，证出A、B、D、E四点共圆，由圆周角定理得出∠DAE=∠DBE，证出∠DAE=∠ADB，得出AE∥BD，证出四边形ABDE是梯形，再证出AB=DE即可得出结论．

解答 （1）证明：∵CO⊥BD，OE=CO，
∴BC=BE，DC=DE，
∴∠AEC=∠ACE，∠DEC=∠DCE，
∵BE⊥ED，
∴∠BED=90°，
即∠BEO+∠DEO=90°，
∴∠BCD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AD∥BC，∠BAD=90°，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BE=BC，OC=OE，
∴∠EBD=∠CBD，
∵∠BED=∠BAD=90°，
∴A、B、D、E四点共圆，
∴∠DAE=∠DBE，
∴∠DAE=∠ADB，
∴AE∥BD，
∴四边形ABDE是梯形，
∵AB=DC，DE=DC，
∴AB=DE，
∴四边形ABDE是等腰梯形．

点评 本题考查了等腰梯形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解决问题的关键．