Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．

（1）求证：BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3．

【解析】

试题分析：（1）由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF，得出对应边相等即可；

（2）证出AE=GE，再证明DG=DO，得出OF=FG=1，即可得出结果．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠OBE=∠ODF．

在△OBE与△ODF中，∵∠OBE=∠ODF，∠BOE=∠DOF，BE=DF，∴△OBE≌△ODF（AAS），∴BO=DO．

（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC，∴∠GEA=∠GFD=90°．∵∠A=45°，∴∠G=∠A=45°，∴AE=GE．∵BD⊥AD，∴∠ADB=∠GDO=90°，∴∠GOD=∠G=45°，∴DG=DO，∴OF=FG=1，由（1）可知，OE=OF=1，∴GE=OE+OF+FG=3，∴AE=3．