Question

如图．已知⊙O₁与⊙O₂内切于点P，⊙O₂的弦AB经过⊙O₁的圆心O₁，交⊙O₁于C、D两点，若AC∶CD∶DB＝3∶4∶2，则⊙O₁与⊙O₂的直径之比为

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A．2∶7．

B．2∶5．

C．1∶4．

D．1∶3．

Answer 1

答案：D
解析：

解：连结O1O2并向两边延长，根据性质，连心线必过切点， 　　∴O1O2必过P点，与⊙O2交于另一点Q． 　　又∵AC∶CD∶DB＝3∶4∶2． 　　∴设AC＝3k，则CD＝4k，DB＝2k． 　　又∵PO1·O1Q＝O1A·O1B， 　　O1P＝O1C＝O1D＝CD＝2k． 　　∴O1Q＝10k． 　　∴⊙O2的直径为12k，⊙O1直径为4k． 　　∴两圆直径之比为1∶3． 　　思路点拨：在弦AB上，所有线段AC、CO1、O1D、DB的关系都非常清楚，而大圆⊙O2的半径没有办法计算，由此我们想到连心线，过P作出大圆直径PQ，再利用相交弦定理O1P·O1Q＝O1A·O1B来计算PQ． 　　评注：本题的关键是作出连心线，并要注意与相交弦定理结合来解本题．