Question

已知抛物线y=x²，直线y=（k+2）x-（2k-1）
（1）求证：无论k为什么实数，该抛物线与直线恒有两个交点；
（2）设两个交点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），若x₁，x₂均为整数，求k的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的性质

专题：

分析：（1）直接根据整理出关于x的一元二次方程，再利用b²-4ac的符号确定得出即可；
（2）利用根与系数的关系以及x₁，x₂均为整数，进而得出答案．

解答：（1）证明：当x²=（k+2）x-（2k-1）时，
整理得出：x²-（k+2）x+（2k-1）=0，
b²-4ac=（k+2）²-4（2k-1）=k²-4k+8=（k-2）²+4，
∵（k-2）²≥0，
∴（k-2）²+4＞0，
∴无论k为什么实数，该抛物线与直线恒有两个交点；

（2）解：∵x²-（k+2）x+（2k-1）=0，
∵x₁，x₂均为整数，
∴x₁+x₂=k+2，x₁•x₂=2k-1都是整数，
∴k也为整数，（k-2）²+4也是整数且是完全平方数，
∴（k-2）²+4=4，
∴解得：k=2．

点评：此题主要考查了根与系数的关系以及配方法的应用，正确得出k也是整数是解题关键．