Question

18．关于x的一元二次方程（m-1）x²-2mx+m+1=0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数．

Answer 1

分析 （1）直接根据一元二次方程的定义以及根的判别式意义求出m的取值范围；
（2）首先求出一元二次方程的两根，一根为1，一根为$1+\frac{2}{m-1}$，只需要求出$\frac{2}{m-1}$是正整数时m的值即可．

解答 解：（1）根据题意得m≠1，
△=（-2m）²-4（m-1）（m+1）=4，
即m的取值范围是m≠1；

（2）∴x₁=$\frac{2m-2}{{2（{m-1}）}}=1$，
x₂=$\frac{2m+2}{{2（{m-1}）}}$=$\frac{m+1}{m-1}$
x₂=$\frac{m+1}{m-1}$=$1+\frac{2}{m-1}$，
∵方程的两个根都是正整数，
∴$\frac{2}{m-1}$是正整数，
∴m-1=1或2
∴m=2或3．

点评 本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式与根的个数的关系，此题难度不大．