Question

12．已知a²-4a+1=0，求$\frac{{a}^{8}+1}{{a}^{4}}$的值．

Answer 1

分析 先根据已知条件进行变形，利用完全平方公式可得：${a}^{4}+\frac{1}{{a}^{4}}$=194，再将所求的式子约分可得结论．

解答 解：a²-4a+1=0，
两边同时除以a，得：a-4+$\frac{1}{a}$=0，
∴a+$\frac{1}{a}$=4，
两边同时平方得：a²+2+$\frac{1}{{a}^{2}}$=16，
∴a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=14，
两边同时平方得：a⁴+2+$\frac{1}{{a}^{4}}$=196，
∴a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$=194，
则$\frac{{a}^{8}+1}{{a}^{4}}$=a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$=196．

点评 本题考查了分式的代入求值问题，本题有难度，不是直接将字母a的值代入，而是利用整体代入的思想，将已知条件进行变形，常采用方程两边同时除以一个数或式子的形式进行变形，或将原式变形为a²=4a-1，达到降次的目的．