题目内容

如图，将矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，且CE与AD相交于点F．
（1）求证：EF=DF；
（2）若AB= $数学公式$ ，BC=3，求折叠后的重叠部分的面积．

（1）证明：如图，
∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，
∴AE=AB，∠E=∠B=90°，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，
∴AE=DC，
而∠AFE=∠DFC，
∴Rt△AEF≌Rt△CDF，
∴EF=DF；

（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=3，CD=AB= $\text{[math]}$ ，
∵Rt△AEF≌Rt△CDF，
∴FC=FA，
设FA=x，则FC=x，FD=3-x，
在Rt△CDF中，CF²=CD²+DF²，即x²=（ $\text{[math]}$ ）²+（3-x）²，解得x=2，
∴折叠后的重叠部分的面积= $\text{[math]}$ •AF•CD= $\text{[math]}$ ×2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论；
（2）根据（1）易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=3-x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x²=（ $\text{[math]}$ ）²+（3-x）²，解方程求出x，然后根据三角形的面积公式计算即可．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．