题目内容
20、已知，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，AE=CD，连接AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q（1）求∠BPD的度数；
（2）若PQ=3，PE=1，求AD的长．
分析：（1）由SAS可得△ABE≌△ACD，进而得出对应角相等，再通过角之间的转化即可求解∠BPD的度数；
（2）由（1）中∠BPD=60°，可得∠PBQ=30°，在Rt△BPQ中，由PQ的长可得BP的长，再由线段的转化，即可求解．
（2）由（1）中∠BPD=60°，可得∠PBQ=30°，在Rt△BPQ中，由PQ的长可得BP的长，再由线段的转化，即可求解．
解答：解（1）∵AB=AC，AE=CD，∠BAE=∠C=60°，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP，
=∠CAD+∠BAP，
=∠BAC=60°．
（2）在RT△BPQ中，∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∵PQ=3，
∴BP=2PQ=6，，
又∵PE=1，
∴BE=BP+PE=7，
由（1）得△ABE≌△ACD，
∴AD=BE=7．
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP，
=∠CAD+∠BAP，
=∠BAC=60°．
（2）在RT△BPQ中，∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∵PQ=3，
∴BP=2PQ=6，，
又∵PE=1，
∴BE=BP+PE=7，
由（1）得△ABE≌△ACD，
∴AD=BE=7．
点评：本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握并能进行一些简单的计算问题．
练习册系列答案
相关题目
某“研究性学习小组”遇到了以下问题，请参与：
已知，△ABC是等边三角形且内接于⊙O，取
上异于A、B的点M．设直线CA与BM相交于点K，直线CB与AM相交于点N．
（1）如图1，图2，图3，M分别为
的中点、三分之一点、四分之一点，△ABC的边长均为2，分别测量出AK、BN的长，计算AK•BN的值（精确到0.01）并将结果填入下表中：
（2）如图4，当M为
上任意一点时，根据（1）的结果，猜想AK•BN与AB的数量关系式为 ；
（3）对（2）中提出的猜想，依图4给出证明．
已知，△ABC是等边三角形且内接于⊙O，取
 |
| AB |
（1）如图1，图2，图3，M分别为
|
| AB |
| △ABC的边长 | AK•BN的值 | |
| 图1 | 2 | |
| 图2 | 2 | |
| 图3 | 2 |
|
| AB |
（3）对（2）中提出的猜想，依图4给出证明．
三个为条件，余下的一个为结论，组成一个正确的命题（只需写出一种），并给予证明．
