Question

【题目】在中，，点是的中点，点是边上一点，，交的延长线于点，，交边于点，过点作，垂足为点，分别交于点．

（1）求证：；

（2）设，求关于的函数关系式及其定义域；

（3）当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或．

【解析】

（1）只要证明△OBD∽△NED，即可解决问题；

（2）由tan∠DBC＝，又因为，可得，由此即可解决问题；

（3）分两种情形：①如图21中，当DE＝DF时，②如图22中，当DE＝EF时，分别求解即可解决问题．

（1）证明：如图1中，

∵OD⊥DF，BD⊥DE，

∴∠ODF＝∠BDE＝90，

∴∠ODB＝∠NDE，

∵EG⊥AB，

∴∠BGM＝∠MDE＝90，

∵∠BMG＝∠EMD，

∴OBD＝∠DEN，

∴△OBD∽△NED，

∴．

（2）解：如图1中，∵∠BCD＝∠BDE＝90，

∴tan∠DBC＝，

∵，

∴，

在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，

∴OB＝OA＝2.5，

∴，

∴y＝x，

∵点是的中点，，交边于点，，

∴0＜CD≤2，即定义域为：0＜x≤2；

（3）解：①如图21中，当DE＝DF时，作OK⊥AC于K，设CD=x．

∵∠OKD＝∠DCF＝∠ODF＝90，

∴∠ODK＋∠KOD＝90，∠ODK＋∠CDF＝90，

∴∠DOK＝∠CDF，

∴△OKD∽△DCF，

∴，

∴，

∴CF＝x（2x），

∵DF＝DE，DC⊥EF，

∴∠CDE＝∠CDF，

∵∠CDE＋∠CDB＝90，∠CBD＋∠CDB＝90，

∴∠CDE＝∠CBD＝∠CDF，

∵∠DCF＝∠DCB＝90，

∴△DCF∽△BCD，

∴，

∴CD2＝CFCB，

∴x2＝2x（2x），

解得x＝或0（舍弃）

∴CD＝；

②如图22中，当DE＝EF时，设CD=x，

∵ED＝EF，

∴∠EDF＝∠EFD，

∴∠EDC＋∠CDF＝∠DBC＋∠BDF，

∵∠EDC＝∠DBC，

∴∠CDF＝∠BDF，

∵∠CDF＋∠ADO＝90，∠BDF＋∠BDO＝90，

∴∠ADO＝∠BDO，

∵AO＝OB，

作OM⊥AD于M，ON⊥BD于N，则OM＝ON，

∵OA＝OB，∠AMO＝∠ONB＝90，

∴Rt△AOM≌△BON（HL），

∴∠A＝∠ABD，

∴DA＝DB，

∴DA＝DB＝4x，

在Rt△BCD中，∵BD2＝CD2＋BC2，

∴（4x）2＝x2＋32，

∴x＝，

∴CD＝．

综上所述，CD的长为或．