题目内容

如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，精英家教网使点B落在点E处，点C落在点D处．P、Q分别为线段AC、AD上的两个动点，且AQ=2PC，连接PQ交线段AE于点M．
（1）设AQ=x，△APQ面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（2）若以点P为圆心，PC为半径的圆与边AB相切，求AQ的长；
（3）是否存在点Q，使得△AQM、△APQ和△APM这三个三角形中一定有两个三角形相似？若存在请求出AQ的长；若不存在请说明理由．
分析：（1）设AQ=x，即可利用x表示出AP的长，然后根据△APQ的面积=
1
2
AQ•AP•sin∠QAP，即可求解；
（2）过点P作PF⊥AB，垂足为F，则PC=PF，直角三角形APF中根据边角关系即可求解；
（3）△AQM、△APQ和△APM这三个三角形有两个三角形相似，即可分成3种情况进行讨论，再根据sin∠QPA=
PF
AP
，即可得到关于AQ的方程，从而求解．
解答：精英家教网解：（1）如图1过点Q作QH⊥AC，垂足为H，（1分）
∵△ABC绕点A逆时针旋转60°，
∴∠DAC=60°，△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=30°，∠EAC=30°，
∴在直角三角形AQH中sin60°=
QH
AQ
，
∴QH=
3
2
x．（1分）
∵AQ=2PC，AC=4，
∴PC=
1
2
xAP=4-
1
2
x，（1分）
∴S△AQP=
1
2
AP•QH，
∴y=
1
2
（4-x）•
3
2
x=-
3
8
x2+
3
x（0＜x≤4）；
（2）如图2过点P作PF⊥AB，垂足为F．（1分）精英家教网
∵以点P为圆心，PC为半径的圆与边AB相切，
∴PC=P．F（1分）
在直角三角形APF中，sin30°=
PF
AP
，
∴
1
2
=
1
2
x
4-
1
2
x
，
∴x=
8
3
．（2分）
即：若以点P为圆心，PC为半径的圆与边AB相切，则AQ的长为
8
3
；

（3）假设存在点Q，使得△AQM、△APQ和△APM这三个三角形中一定有两个三角形相似．
①如图3，当△AQM与△APQ相似时，
∵∠AQM=∠PQA，∠QAM≠∠QAP，
∴∠QAM=∠QPA=30°，
∴∠PQA=90°，
∴sin∠QPA=
AQ
AP
1
2
=
x
4-
1
2
x
，
∴x=
8
5
；（2分）
②当△APQ与△APM相似时，
∵∠APQ=∠APM，∠QAM≠∠QAP，
∴∠PAM=∠PQA=30°，
∴∠QPA=90°，
∴sin∠PQA=
AP
AQ
1
2
=
4-
1
2
x
x
，
∴x=4；（2分）
③如图4，当△AQM与△APM相似时，精英家教网
∵∠QAM=∠PAM=30°，∠AQM≠∠AMP，
∴∠AQM=∠APM，
∴AQ=AP，
∴x=4-
1
2
x，
∴x=
8
3
．（1分）
∴当AQ为
8
5
或4或
8
3
时，△AQM、△APQ和△APM这三个三角形中一定有两个三角形相似．
点评：本题主要考查了旋转的性质，以及相似三角形的判定与性质，正确进行讨论，利用sin∠QPA=
PF
AP
这一关系是解题的关键．
练习册系列答案
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如图，在直角三角形ABC中∠C=90°，则sinA=
 
．精英家教网
精英家教网如图，在直角三角形中，一直角边比另一直角边长1，且斜边长为5．
（1）请画出这个直角三角形的内切圆；
（2）并求出此内切圆的半径．
精英家教网如图，在直角三角形ABC中，AD为斜边上的垂线，AE为角平分线，AF为中线，
（1）证明：AF=BF=CF；
（2）写出∠FAE和∠DAE的关系并证明你的结论．
精英家教网如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=4，阴影部分的面积为（　　）
A、2πB、3πC、4πD、6π
9、如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，则当AP=
5cm或10cm
时，才能使△ABC和△APQ全等．

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