Question

如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10．

（1）求梯形ABCD的面积；

（2）动点P从点B出发，以2个单位/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以2个单位/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．问：

①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．

②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

　

Answer 1

解：（1）如图（1）过D作DH∥AB交BC于点H，

∵AD∥BC，DH∥AB，

∴四边形ABHD是平行四边形，

∴DH=AB=8，BH=AD=2，

∵CD=10，

∴HC==6，

∴BC=BH+CH=8，

∴S_ABCD=（AD+BC）•AB=×（2+8）×8=40；

（2）①∵BP=CQ=2t，

∴AP=8﹣2t，DQ=10﹣2t，

∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，

∴8﹣2t+2+10﹣2t=2t+8+2t，

∴t=＜4，

∴当t=秒时，PQ将梯形ABCD周长平分，

QC=3，PB=3，

∵QE∥DH，

∴==，

∴==，

∴QE=，EC=，

BE=8﹣=，

∴四边形PBCQ面积=S_梯形AEBP+S_△QEC=（PB+QE）×BE+QE×EC=（+3）×+××==18.9，

∴PQ不平分梯形ABCD的面积；

②第一种情况：如图（2），当0≤t≤4时，过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E，H，

∵AP=8﹣2t，AD=2，

∴PD==，

∵CE=t，QE=t，

∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t，

∴PH=2t﹣t=t，

∴PQ===，

DQ=10﹣2t，

I：DQ=DP，10﹣2t=，

解得；t=4秒，

Ⅱ：DQ=PQ，10﹣2t=，

化简得：3t²﹣26t+45=0，

解得；t=，t=＞4（不合题意，舍去），

∴t=，

第二种情况：当4≤t＜5时，DP=DQ=10﹣2t，

∴当4≤t＜5时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立，

第三种情况：5＜t≤6时，DP=DQ=2t﹣10，

∴5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立，

综上所述，t=或4，4≤t＜5或，5＜t≤6时以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．