Question

3．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．
（1）判断点M（1，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点P（a，3）在直线y=-x+b（b为常数）上，求a，b的值；
（3）若直线y=2x+12上存在和谐点，写出此点的坐标：（（$\frac{-3+\sqrt{57}}{2}$，9$+\sqrt{57}$）或（$\frac{-3-\sqrt{57}}{2}$，9-$\sqrt{57}$））．

Answer 1

分析 （1）根据题意即可得到结论；
（2）因为P（a，3）是和谐点，所以根据题意得3×|a|=2×（|a|+3）．①当a＞0时，②当a＜0时，列方程即可得到结论；
（3）设此点的坐标为（a，2a+12），由题意列方程即可得到结论．

解答 解：（1）M不是和谐点，N是和谐点．
根据题意，对于M而言，面积为1×2=2，周长为2×（1+2）=6，
所以M不是和谐点，
对于N而言，面积为4×4=16，周长为2×（4+4）=16，
所以N是和谐点．
（2）因为P（a，3）是和谐点，
所以根据题意得3×|a|=2×（|a|+3）．
①当a＞0时，3a=2（a+3），3a=2a+6，
解得a=6，将（6，3）代入y=-x+b得3=-6+b，
解得b=9．
②当a＜0时，-3a=2（-a+3），-3a=-2a+6，
解得a=-6，将（-6，3）代入y=-x+b得3=6+b，
解得b=-3．
所以a=6，b=9或a=-6，b=-3．
（3）设此点的坐标为（a，2a+12），
由题意得，a（2a+12）=2（a+2a+12），
∴a=$\frac{-3±\sqrt{57}}{2}$，
∴P（$\frac{-3+\sqrt{57}}{2}$，9$+\sqrt{57}$）或（$\frac{-3-\sqrt{57}}{2}$，9-$\sqrt{57}$）．
故答案为：（$\frac{-3+\sqrt{57}}{2}$，9$+\sqrt{57}$）或（$\frac{-3-\sqrt{57}}{2}$，9-$\sqrt{57}$）．

点评 题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）；直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．