Question

13．如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，CE=2BD．
（1）求证：BE=BC．
（2）在（1）的条件下，BE=AE，求∠DCB的度数．

Answer 1

分析 （1）作BF⊥AC于点F，易证BF是CE的中垂线，则BE=BC；
（2）设∠A=x°，则根据等边对等角即可利用x表示出∠ABC和∠ACB的度数，然后在△ABC中利用三角形内角和定理即可求得x的度数，然后在直角△BCD中利用内角和定理求解．

解答 （1）证明：作BF⊥AC于点F．
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AC•BF，AB=AC，
∴CD=BF．
∴BD=CF，
又∵CE=2BD，
∴EF=FC，
又∵BF⊥AC，
∴BC=BE；
（2）设∠A=x°，
∵BE=AE，
∴∠ABE=∠A=x°，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=2x°，
∵BE=BC，
∴∠ACB=∠BEC=2x°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2x°，
∵△ABC中∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即x+2x+2x=180，
解得：x=36，
则∠ABC=72°，
∴直角△BCD中，∠BCD=90°-72°=18°．

点评 本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，正确作出辅助线是本题的关键．