Question

1．如图，已知△ABC中，AB=AC，点D，E分别为边AB，BC的中点，M为边BC上一点，以DM为一边，在△ABC的内部作△DMN，使DN=DM，∠MDN=∠A，延长EN交直线AC于点F．
（1）当∠A=60°时，求证：CF=BE；
（2）当∠A=120°时，线段CF、BE满足的数量关系是CF=$\sqrt{3}$BE；
（3）在（2）的条件下，延长DN交AC于点G，若$AB=3\sqrt{3}$，BM=2，求DG的值．

Answer 1

分析 （1）连接DE，先证明BD=BE=DE，再由SAS证明△BDE△BDM≌△EDN，得出∠DEF=∠B=60°，证明△EFC是等边三角形，得出CF=CE，即可得出结论；
（2）连接DE，作EH⊥CF于H，由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=30°，同（1）得：△BDM≌△EDN，得出∠DEN=∠B=30°，NE=BM，证出EF=CE，得出CH=FH=$\frac{1}{2}$CF，由含30°角的直角三角形的性质得出CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CE，CF=$\sqrt{3}$CE，即可得出结论；
（3）连接AE、DE，由等腰三角形的性质得出AE⊥BC，由含30°角的直角三角形的性质得出AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，得出BE=$\sqrt{3}$AE=$\frac{9}{2}$，求出EF=BE=$\frac{9}{2}$，得出FN=EF-NE=$\frac{5}{2}$，作MK⊥AB于K，得出BK=$\sqrt{3}$MK=$\sqrt{3}$，DK=BD-BK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由勾股定理求出DN=DM=$\sqrt{M{K}^{2}+D{K}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，再由平行线得出比例式求出NG，即可DG的长．

解答 （1）证明：连接DE，如图1所示
∵点D，E分别为边AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，BD=$\frac{1}{2}$AB，BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE∥AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，
∵∠A=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠C=60°，
∴BD=BE=DE，即△BDE是等边三角形，
∴∠BED=∠BDE=60°，
∵∠MDN=∠A=60°，
∴∠BDM=∠EDN，
在△BDM和△EDN中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=ED}&{\;}\\{∠BDM=∠EDN}&{\;}\\{DM=DN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△EDN（SAS），
∴∠DEF=∠B=60°，
∴∠FEC=60°，
∴∠EFC=180°-60°-60°=60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴CF=CE，
∴CF=BE；
（2）CF=$\sqrt{3}$BE；理由如下：连接DE，作EH⊥CF于H，如图2所示：
∵∠A=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
由（1）得：DE=$\frac{1}{2}$AC，BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴BD=DE，
∴∠DEB=∠B=30°，
同（1）得：△BDM≌△EDN，
∴∠DEN=∠B=30°，NE=BM，
∴∠BEF=60°，
又∵∠BEF=∠C+∠F，
∴∠F=30°=∠C，
∴EF=CE，∴CH=FH=$\frac{1}{2}$CF，
∵∠C=30°，
∴CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CE，
∴CF=$\sqrt{3}$CE，
∵BE=CE，
∴CF=$\sqrt{3}$BE；
故答案为：CF=$\sqrt{3}$BE；
（3）解：连接AE、DE，如图3所示：
∵AB=AC，E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵∠B=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴BE=$\sqrt{3}$AE=$\frac{9}{2}$，
∴EF=BE=$\frac{9}{2}$，
∴FN=EF-NE=$\frac{5}{2}$，
作MK⊥AB于K，
∵∠B=30°，
∴MK=$\frac{1}{2}$BM=1，
∴BK=$\sqrt{3}$MK=$\sqrt{3}$，
∵BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴DK=BD-BK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DN=DM=$\sqrt{M{K}^{2}+D{K}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∵DE∥AC，
∴$\frac{DN}{NG}=\frac{NE}{FN}$，
即$\frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{NG}=\frac{2}{\frac{5}{2}}$，
解得：NG=$\frac{5\sqrt{7}}{8}$，
∴DG=DN+NG=$\frac{\sqrt{7}}{2}$+$\frac{5\sqrt{7}}{8}$=$\frac{9\sqrt{7}}{8}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用勾股定理等知识才能得出结果．