Question

【题目】如图，已知顶点为的抛物线过点，交轴于两点，交轴于点，点是抛物线上一动点．

求抛物线的解析式；

当点在直线上方时，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；

过点作直线的垂线，垂足为，若将沿翻折点的对应点为点．是否存在点，使恰好落在轴上？若存在，求出点的坐标：若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）有最大值，此时点的坐标为；（3）存在，

【解析】

（1）先设设抛物线解析式为，然后用待定系数法求解即可；

（2）由S△PAD=S△PHA+S△PHD，然后将S△PAD表示出来，最后求最值即可；

（3）设点P的坐标为点的坐标为，然后分当P点在y轴右侧或左侧两种情况，分别运用解直角三角形以及相似三角形的性质求解即可．

解：根据题意设抛物线解析式为

把点的坐标代入得

解得

所以抛物线解析式为；

如图，由已知抛物线过点交轴于两点，交轴于点

所以可得的坐标为，

且轴设经过两点的直线的解析式为

把的坐标代入得

解得

所以直线的解析式为

过点作轴的垂线，分别交轴于点，连结

因为点在抛物线上，故设点的坐标为

则点的坐标为

所以

所以

当时，有最大值，此时点的坐标为；

存在满足条件的点，显然点在直线下方．

设直线交轴于，点的坐标为

① 当点在轴右侧（如图 ），

又，

即

解得

此时，点的坐标为

② 当点在轴左侧时（如图 2）此时，

又，

即

解得

此时，点的坐标为

综上所述，满足条件的点坐标为

．