Question

【题目】在中，，为斜边上的中线;在中，，,且．连接,点、点分别为线段的中点，连接．

如图1，当点在内部时，求证：

如图2，当点在外部时，连接,判断与的数量关系，并加以证明；

将图1中的绕点旋转，在旋转的过程中，请直接回答：

①中的与的数量关系是否发生了变化?

②若,当点三点在同一条直线上时，请直搂写出的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）①与的数量关系不变；②或

【解析】

（1）利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半和三角形的中位线即可；

（2）根据三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：由等边对等角可知再由平行线的性质可知因此得出：，所以证得△EMN≌△DNC进而得出结论；
（3）①借助（2）得出结论；

②分两种情况，如图，先判断出点N是以点D为圆心，为半径的圆上，即可得出结论．

（1）证明，在中

是斜边上的中线

在中，点分别是边的中点，

（2）CN与的数量关系是

证明:如图，连接。

在中，是斜边上的中线，

在中，点是斜边的中点，

中，点、点、点分别为线段的中点,

，

即

（3）①与的数量关系不变

与（2）同理可证；

②或

分两种情况，如图，

由（2）可知：点N在以点D 为圆心，为半径的圆上，

在Rt△ABC中，CD是AB边上的中线，

∴CD=AB=a

∵点D、N分别是AB、BF的中点，

∴DN=AF=b

∴CN最大=CD+DN=，CN最小=CD-DN=

由（2）可知：EN=CN

∴EN最大=，EN最小=

∴EN的最大值为，EN的最小值为

∴EN的值为或者