Question

如图，AD∥BC，点E、F在BC上，∠1=∠2，AF⊥DE，垂足为点O．
（1）求证：四边形AEFD是菱形；
（2）若BE=EF=FC，求∠BAD+∠ADC的度数；
（3）若BE=EF=FC，设AB=m，CD=n，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）先证明是平行四边形，再证出一组邻边相等就可以证明菱形．
（2）把要求的角拆成几个角，先分别求出一些角的和，最终求出∠BAD+∠ADC的度数；
（3）把求四边形ABCD的面积转化成求三角形ABF的面积加上平行四边形AFCD的面积，从而求出值．

解答：解：（1）证明：（方法一）∵AF⊥DE，
∴∠1+∠3=90°即：∠3=90°-∠1，
∴∠2+∠4=90°即：∠4=90°-∠2，
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴AE=EF，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠5，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠5，
∴AE=AD，
∴EF=AD，（2分）
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，（1分）
又∵AE=AD，
∴四边形AEFD是菱形，（1分）
（方法二）∵AD∥BC，
∴∠2=∠5，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠5，
∵AF⊥DE，
∴∠AOE=∠AOD=90°，
在△AEO和△ADO中

∠1=∠5 ∠AOE=∠AOD AO=AO

，
∴△AEO≌△ADO，
∴EO=OD
在△AEO和△FEO中

∠1=∠2 EO=EO ∠AOE=∠FOE

，
∴△AEO≌△FEO，
∴AO=FO，（2分）
∴AF与ED互相平分，（1分）
∴四边形AEFD是平行四边形，
又∵AF⊥DE，
∴四边形AEFD是菱形；（1分）

（2）（5分）∵菱形AEFD，
∴AD=EF，
∵BE=EF，
∴AD=BE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，（1分）
∴AB∥DE，
∴∠BAF=∠EOF，
同理可知四边形AFCD是平行四边形，
∴AF∥DC，
∴∠EDC=∠EOF，
又∵AF⊥ED，
∴∠EOF=∠AOD=90°，
∴∠BAF=∠EDC=∠EOF=90°，（2分）
∴∠5+∠6=90°，（1分）
∴∠BAD+∠ADC=∠BAF+∠6+∠5+∠EDC=270°；（1分）

（3）（3分）由（2）知∠BAF=90°平行四边形AFCD，
∴AF=CD=n，
又∵AB=m，S△ABF=

1

2

AB•AF=

1

2

mn，（1分）
由（2）知平行四边形ABED，
∴DE=AB=m，
由（1）知OD=

1

2

DE=mS四边形AFCD=AF•OD=

1

2

mn，（1分）
S_{四边形ABCD}=S_△ABF+S_{四边形AFCD}=mn．（1分）

点评：本题考查了菱形的判定定理，平行线的性质，三角形的面积以及全等三角形的判定和性质定理等．