Question

如图，在△ABC中，AB＞AC＞BC，O为△ABC内任一点，连接AO并延长，交BC于K．
（1）求证：AK+BC＜AB+AC； 
（2）求证：

1

2

（AB+AC+BC）＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．?

Answer 1

考点：三角形三边关系

专题：证明题

分析：（1）根据大边对大角得到∠ACB＞∠ABC，根据三角形外角的性质得到∠AKB＞∠ACB，根据等量关系得到∠AKB＞∠ABC，根据大角对大边得到AK＜AB，再根据等量关系即可求解；
（2）先根据两边之和大于第三边得出

1

2

（AB+AC+BC）＜OA+OB+OC，再根据大角对大边可得出OA+OB+OC＜AB+AC+BC即可．

解答：证明：（1）∵AB＞AC，
∴∠ACB＞∠ABC，
∵∠AKB＞∠ACB，
∴∠AKB＞∠ABC，
∴AK＜AB，
又∵BC＜AC，
∴AK+BC＜AB+AC；
（2）∵三角形中任意两边之和大于第三边，
∴OA+OB＞AB，OA+OC＞AC，OB+OC＞BC，
∴2（OA+OB+OC）＞AB+AC+BC，即

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2

（AB+AC+BC）＜OA+OB+OC，
∵OA＜AB，OB＜BC，OC＜AC，
∴OA+OB+OC＜AB+AC+BC，
∴

1

2

（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．

点评：本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．