Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

（1）求抛物线的表达式；

（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；

（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；

（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当CM=MN，且∠CMN=90°时，求此时△CMN的面积．

Answer 1

【答案】（１）y=﹣x2+4x；（２）３；（３）（5，﹣5）　（４）或

【解析】试题（1）把A（4，0），B（1，3）两点的坐标代入抛物线y=ax2+bx中，用待定系数法求a、b的值，即可得抛物线的表达式；（2）点C和点B关于对称轴对称，直接写出即可，利用 ×OA×HB即可求出△ABC的面积；（3）过P点作PD⊥BH交BH于点D，设点P（m，﹣m2+4m），可得BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，根据S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD，列出以m为未知数的方程，解得m的值，即可求得点P的坐标；（4）当CM=MN，且∠CMN=90°时，分当点M在x轴上方时和当点M在x轴下方时两种情况求解即可.

试题解析：

（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，

得 解得： ，

∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x；

（2）点C的坐标为（3，3），

又∵点B的坐标为（1，3），

∴BC=2，

∴S△ABC= ×2×3=3；

（3）过P点作PD⊥BH交BH于点D，

设点P（m，﹣m2+4m），

根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，

∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD，

6=×3×3+（3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣（m﹣1）（3+m2﹣4m），

∴3m2﹣15m=0，

m1=0（舍去），m2=5，

∴点P坐标为（5，﹣5）．

（4）当CM=MN，且∠CMN=90°时，分情况讨论：

①当点M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，

则△CBM≌△MHN，

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴M（1，2），N（2，0），

由勾股定理得：MC==，

∴S△CMN=××=．

②当点M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，

得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴EM=CD=5，MD=ME=2，

由勾股定理得：CM==，

∴S△CMN=××=；

综上所述：△CMN的面积为： 或．