Question

【题目】如图，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD．

（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长；

（2）取BC的中点E，连接ED，试证明：ED与⊙O相切．

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案见解析．

【解析】

试题（1）根据勾股定理易求AC的长，根据△ABD∽△ACB得比例线段可求BD的长．

（2）连接OD，证明DE⊥OD．

试题解析：（1）∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，即BD⊥AC.

在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，

∴由勾股定理得AC=5.

∵∠ABC=90°，BD⊥AC，

∴△ABD∽△ACB，

∴，

即，

∴BD=；

（2）连接OD．

∵OD=OB（⊙O的半径），

∴∠OBD=∠BDO

∵AB是直径（已知），

∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），

∴∠ADB=∠BDC=90°；

在Rt△BDC中，E是BC的中点，

∴BE=CE=DE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

∴∠DBE=∠BDE

又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90°，

∴∠ODE=∠BDO+∠BDE=90°（等量代换）；

∵点D在⊙O上，

∴ED与⊙O相切.