Question

13．某中学要修建一座图书楼，为改善安全性能，把楼梯的倾斜角由原来设计的45°改为30°．已知原来设计的楼梯长为4.5m，在楼梯高度不变的情况下，调整后的楼梯多占地面$\frac{9\sqrt{6}-9\sqrt{2}}{4}$m．

Answer 1

分析 由题可知45°、30°的角在两个直角三角形中，且对边相等，只需利用正切函数求出邻边后，求它们的差即可．

解答 解：如图，

设楼梯的高为AC，原楼梯所占的地面长为BC，调整后楼梯多占的长为BD，
则在Rt△ABC，AC=ABsin45°=4.5sin45°=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$m，BC=ABcos45°=4.5cos45°=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$m．
在Rt△ACD中，DC=AC÷tan30°=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$×$\sqrt{3}$=$\frac{9\sqrt{6}}{4}$m．
∴DB=DC-BC=$\frac{9\sqrt{6}}{4}$-$\frac{9\sqrt{2}}{4}$=$\frac{9\sqrt{6}-9\sqrt{2}}{4}$m．
∴调整后的楼梯多占地面$\frac{9\sqrt{6}-9\sqrt{2}}{4}$m．
故答案为：$\frac{9\sqrt{6}-9\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查了坡度坡角问题，解题的关键利用三角函数得到修改前的水平距离和修改后的水平距离．