Question

（2012•盐都区一模）太阳能热水器具有安全、节能、环保、经济等优点．随着人们生活条件的不断改善，越来越多的太阳能热水器走进了普通人家图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．己知，斜屋面的倾斜角为30°，长为2米的真空管AB与水平线AD的夹角为45°，安装热水器的铁架水平横管BC长

6

10

米，求：
（1）真空管上端B到AD的距离（结果保留根号）：
（2）铁架垂直管CE的长（结果保留根号）．

Answer 1

分析：（1）过B作BF垂直于AD，交AD于点F，由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形BFDC为矩形，由矩形的对边相等得到BC=FD，BF=CD，在直角三角形ABF中，由∠BAF=45°，AB=2，利用正弦函数定义及特殊角的三角函数值即可求出BF的长；
（2）在直角三角形ABF中，由∠BAF=45°，得到此三角形为等腰直角三角形，可得出AF=BF，由第一问求出的BF得到AF的长，再由BC的长得到FD的长，利用AF+FD得到AD的长，在直角三角形AED中，利用正切函数定义及特殊角的三角函数值求出ED的长，再由CD-ED即可求出CE的长．

解答：解：（1）过B作BF⊥AD于点F，如图所示：

可得四边形BFDC为矩形，
∴BC=FD，BF=CD，
在Rt△ABF中，∠BAF=45°，AB=2米，
∴sin45°=

BF

AB

，
∴BF=ABsin45°=2×

2

2

=

2

（米），
则真空管上端B到AD的距离为

2

米；

（2）∵Rt△ABF中，∠BAF=45°，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF=BF=

2

米，又BC=FD=

6

10

米，
∴AD=AF+FD=（

2

+

6

10

）米，
在Rt△AED中，tan30°=

ED

AD

，
∴ED=ADtan30°=（

2

+

6

10

）×

3

3

=（

6

3

+

2

10

）米，
则CE=CD-ED=

2

-（

6

3

+

2

10

）=（

9 2

10

-

6

3

）米．

点评：此题属于解直角三角形的实际应用题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，等腰直角三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值，利用了转化的思想，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．