Question

如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，联结BE，∠ABE＝30°，BE＝DE，联结BD．点M为线段DE上的任意一点，过点M作MN∥BD，与BE相交于点N．

(1)如果，求边AD的长；

(2)如图1，在(1)的条件下，如果点M为线段DE的中点，联结CN．过点M作MF⊥CN，垂足为点F，求线段MF的长；

(3)试判断BE、MN、MD这三条线段的长度之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由矩形ABCD，得AB＝CD，∠A＝∠ADC＝90°． 　　在Rt△ABE中，∵∠ABE＝30°，， 　　∴，BE＝2AE＝4　　(2分) 　　又∵BE＝DE，∴DE＝4． 　　于是，由AD＝AE＋DE，得AD＝6　　(2分) 　　(2)联结CM． 　　在Rt△ABD中，　　(1分) 　　∴BD＝2AB，即得∠ADB＝30°． 　　∵MN∥BD，∴∠AMN＝∠ADB＝30°　　(1分) 　　又∵MN∥BD，点M为线段DE的中点， 　　∴DM＝EM＝2，． 　　∴　　(1分) 　　在Rt△CDM中，． 　　∴∠CMD＝60°，即得CM＝4，∠CMN＝90°　　(1分) 　　由勾股定理，得． 　　于是，由MF⊥CN，∠CMN＝90°， 　　得　　(1分) 　　(3)　　(1分) 　　证明如下：过点E作EF⊥BD，垂足为点F． 　　∵BE＝DE，EF⊥BD，∴BD＝2DF　　(1分) 　　在Rt△DEF中，由∠EDB＝30°， 　　得，即得　　(1分) 　　∵MN∥BD， 　　∴，，即得，BN＝DM． 　　∴　　(1分) 　　于是，由BE＝BN＋EN，得　　(1分)