题目内容
阅读下列材料：如图，⊙O1和⊙O2外切于点C，AB是⊙O1和⊙O2的外公切线，A、B为切点，求证：AC⊥BC．
证实：过点C作⊙O1和⊙O2的内公切线交AB于D．
∵ DA、DC是⊙O1的切线，∴ DA＝DC．
∴ ∠DAC＝∠DCA．同理∠DCB＝∠DBC．
又∵ ∠DAC＋∠DCA＋∠DCB＋∠DBC＝180°，∴ ∠DCA＋∠DCB＝90°．
即AC⊥BC．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)在以上的证实过程中使用了哪些定理？请写出两个定理的名称或内容；
(2)以AB所在直线为x轴，过点C且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系(如图11)．已知A、B两点的坐标为(-4，0)、(1，0)，求经过A、B、C三点的抛物线y＝ax2＋bx＋c的函数解析式；
(3)根据(2)中所确定的抛物线，试判定这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O1O2上，并说明理由．
解：(1)切线长定理，等腰三角形的性质定理，三角形的内角和等于180°等
(2)由题意OA＝4，OB＝1，AC⊥BC，Rt△ACB中，∵ AC⊥BC，CO⊥AB，∴ △BOC∽△COA．
∴ 
，OC2＝OA?OB，∴ OC2＝4，OC＝2．
∴ 点C(0，-2)设y＝a(x＋4)(x-1)，代入点C(0，-2)有：-2＝-4a．
∴ a＝ 
．∴ y＝ (x＋4)(x-1)．即y＝ x2＋ 
x-2．
(3)解法一：设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r．
连O1A、O2B、O1O2，过O2作O2H⊥O1A于H．
在Rt△O1O2H中，O1H＝R-r，O1O2＝R＋r，HO2＝AB＝5，在梯形ABO2O1中， 
．
∴ 
∴ R＝5，r＝ 
．
∴ 梯形AO1O2B的中位线长为： (R＋r)＝ (5＋ )＝ 
．
∵ 由抛物线的对称性知，梯形中位线在对称轴上．
∴ O1O2的中点坐标是(- ，- )．
∵ y＝ (x＋ )2- ，∴ 顶点P(- ，- )．
∴ 抛物线的顶点在O1O2的连心线上．
解法二：(接解法一)由R＝5，A(-4，0)，C(0，-2)，
∴ 点O1＝(-4，-5)．设过点O1、O2的直线为y＝kx＋b，又点C在连心线O1、O2上，
∴ 
∴ 
∴ y＝ 
x-2．
当x＝- 时，y＝ ×(- )-2＝- ．
∴ 顶点(- ，- )在连心线O1O2上．
阅读下列材料：
