题目内容
（2013•乐山）阅读下列材料：
如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别在边AB，DC上，且MN∥AD，记AD=a，BC=b．若
=
，则有结论：MN=
．
请根据以上结论，解答下列问题：
如图2，图3，BE，CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP1，PP2，PP3，交BC于点P1，交AB于点P2，交AC于点P3．
（1）若点P为线段EF的中点．求证：PP1=PP2+PP3；
（2）若点P为线段EF上的任意位置时，试探究PP1，PP2，PP3的数量关系，并给出证明．
如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别在边AB，DC上，且MN∥AD，记AD=a，BC=b．若
| AM |
| MB |
| m |
| n |
| bm+an |
| m+n |
请根据以上结论，解答下列问题：
如图2，图3，BE，CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP1，PP2，PP3，交BC于点P1，交AB于点P2，交AC于点P3．
（1）若点P为线段EF的中点．求证：PP1=PP2+PP3；
（2）若点P为线段EF上的任意位置时，试探究PP1，PP2，PP3的数量关系，并给出证明．
分析：（1）如答图1所示，作辅助线，由角平分线性质可知ER=ES，FM=FN；再由中位线性质得到FM=2PP3，ER=2PP2；最后，在梯形FMRE中，援引题设结论，列出关系式，化简得到：PP1=PP2+PP3；
（2）如答图2所示，作辅助线，由角平分线性质可知ER=ES，FM=FN；再由相似三角形比例线段关系得到：ER=
PP2；FM=
PP3；最后，在梯形FMRE中，援引题设结论，列出关系式，化简得到：PP1=PP2+PP3．
（2）如答图2所示，作辅助线，由角平分线性质可知ER=ES，FM=FN；再由相似三角形比例线段关系得到：ER=
| m+n |
| m |
| m+n |
| n |
解答：（1）证明：如答图1所示，
BE为角平分线，过点E作ER⊥BC于点R，ES⊥AB于点S，则有ER=ES；
CF为角平分线，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N，则有FM=FN．
点P为中点，由中位线的性质可知：ES=2PP2，FN=2PP3．
∴FM=2PP3，ER=2PP2．
在梯形FMRE中，FM∥PP1∥ER，
=
，
根据题设结论可知：
PP1=
=
=
=PP2+PP3．
∴PP1=PP2+PP3．
（2）探究结论：PP1=PP2+PP3．
证明：如答图2所示，
BE为角平分线，过点E作ER⊥BC于点R，ES⊥AB于点S，则有ER=ES；
CF为角平分线，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N，则有FM=FN．
点P为EF上任意一点，不妨设
=
，则
=
，
=
．
∵PP2∥ES，∴
=
=
，∴ES=
PP2；
∵PP3∥FN，∴
=
=
，∴FN=
PP3．
∴ER=
PP2；FM=
PP3．
在梯形FMRE中，FM∥PP1∥ER，
=
，
根据题设结论可知：
PP1=
=
=
=PP2+PP3．
∴PP1=PP2+PP3．
BE为角平分线，过点E作ER⊥BC于点R，ES⊥AB于点S，则有ER=ES；
CF为角平分线，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N，则有FM=FN．
点P为中点，由中位线的性质可知：ES=2PP2，FN=2PP3．
∴FM=2PP3，ER=2PP2．
在梯形FMRE中，FM∥PP1∥ER，
| FP |
| PE |
| 1 |
| 1 |
根据题设结论可知：
PP1=
| ER×1+FM×1 |
| 1+1 |
| ER+FM |
| 2 |
| 2PP2+2PP3 |
| 2 |
∴PP1=PP2+PP3．
（2）探究结论：PP1=PP2+PP3．
证明：如答图2所示，
BE为角平分线，过点E作ER⊥BC于点R，ES⊥AB于点S，则有ER=ES；
CF为角平分线，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N，则有FM=FN．
点P为EF上任意一点，不妨设
| PF |
| PE |
| m |
| n |
| PF |
| EF |
| m |
| m+n |
| PE |
| EF |
| n |
| m+n |
∵PP2∥ES，∴
| PP2 |
| ES |
| PF |
| EF |
| m |
| m+n |
| m+n |
| m |
∵PP3∥FN，∴
| PP3 |
| FN |
| PE |
| EF |
| n |
| m+n |
| m+n |
| n |
∴ER=
| m+n |
| m |
| m+n |
| n |
在梯形FMRE中，FM∥PP1∥ER，
| PF |
| PE |
| m |
| n |
根据题设结论可知：
PP1=
| mER+nFM |
| m+n |
m•
| ||||
| m+n |
| (m+n)PP2+(m+n)PP3 |
| m+n |
∴PP1=PP2+PP3．
点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质．本题两问之间体现了由特殊到一般的数学思想，解题思路类似，并且同学们可仔细领会．
练习册系列答案
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22、阅读下题及证明过程：
（2013•乐山模拟）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，-6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5．若P是⊙C上的一个动点，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是（ ）