Question

14．如图，已知点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M，N分别是AE，CD的中点，现有如下结论：①∠ABD=∠BDN；②MB=NB；③MB⊥NB；④S_△ABM=S_△BCN，其中正确的结论是②③④（只填序号）．

Answer 1

分析 ①由三角形内最多只有一个直角得出该结论不成立；
②通过证明△ABE≌△DBC得出AE=DC，根据直角三角形斜边上中线的特点，可得出结论成立；
③通过证明△ABM≌△DBN得出∠DBN=∠ABM，通过等量替换得出结论成立；
④由②中的三角形全等可知其面积也相等，故其面积的一半也相等，结论成立．

解答 解：①∵∠ABD=∠DBC，且点B在线段AC上，
∴∠ABD=∠DBC=180°÷2=90°，
在△BDC中，∠DBC=90°
∴∠BDN=∠BDC＜90°（三角形中最多只有一个直角存在），
∴∠ABD≠∠BDN，
即①不成立．
②在直角△ABE与直角△DBC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABE=∠DBC=90°}\\{EB=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=DC，
又M，N分别是AE，CD的中点，
∴BM=$\frac{1}{2}$AE，BN=$\frac{1}{2}$DC，
∴BM=BN，
即②成立．
③在△ABM和△DBN中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}DC=DN}\\{AB=DB}\\{BM=BN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DBN，
∴∠DBN=∠ABM，
∴∠MBN=∠MBD+∠DBN=∠MBD+∠ABM=∠ABD=90°，
∴MB⊥NB，
即③成立．
④∵M，N分别是AE，CD的中点，
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}$S_△ABE，S_△BCN=$\frac{1}{2}$S_△DBC，
由②得知，△ABE≌△DBC，
∴S_△ABM=S_△BCN，
即④成立．
故答案为：②③④．

点评 本题考查的全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过证明三角形全等找到相应的等量关系，从而验证给出结论成立不成立．