Question

【题目】已知函数 y1 kx ax a 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）,已知函数y2 kx bx b 的图象与 x 轴交于 C、D 两点（点 C 在点 D 的左侧），其中 k 0, a b

(1)求证：函数 y1 与 y2 的图象交点落在一条定直线上；

(2)若 AB=CD，求 a、b和k 满足的关系式；

(3)是否存在函数 y1 与 y2 ，使得 B，C 为线段 AD 的三等分点？若存在，求的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）且；（3）存在这样的函数，使得B，C为线段AD的三等分点，且.

【解析】

（1）将两函数的解析式联立求解即可得；

（2）设A、B、C、D四点的坐标，根据函数解析式分别求出四点的坐标，然后根据列出等式，进行化简即可求出a、b和k 满足的关系式；

（3）由题意需分两种情况：点C在点B的左侧，此时有；点C在点B的右侧，此时有；利用题（2）求出的四点坐标则可得这些线段的长度，建立等式化简求解即可.

（1）设交点坐标为

由题意得：

解得：

即交点坐标为

故函数与的图象交点落在定直线上；

（2）由题意设

求解和两个方程可得：

则

由得：

解得：

即

代入得

故所求的a、b和k满足的关系式为且；

（3）根据题意分以下两种情况：

①点C在点B的左侧，此时有，则

当时，

由得，即

将值代入得：

解得：

联立题（2）的结论得：

因函数与x轴有两个交点，则

两边同除以得

此方程的根的判别式，无解

故不存在，使得B，C为线段AD的三等分点；

当时，

由得，即

将值代入得：

解得：

联立题（2）的结论得：

因函数与x轴有两个交点，则

两边同除以得

此方程的根的判别式，无解

故不存在，使得B，C为线段AD的三等分点；

②点C在点B的右侧，此时有

当时，

由得，即

将值代入得：

由题（2）的结论得：

联立解得：

即

因函数与x轴有两个交点，则

两边同除以得

解得：

故存在这样的函数，使得B，C为线段AD的三等分点，且；

当时，

由得，即

将值代入得：

由题（2）的结论得：

联立解得：

即

因函数与x轴有两个交点，则

两边同除以得

解得：

故存在这样的函数，使得B，C为线段AD的三等分点，且；

综上，存在这样的函数，使得B，C为线段AD的三等分点，且.