Question

【题目】（问题探究）小敏在学习了Rt△ABC的性质定理后，继续进行研究．

（1）（i）她发现图①中，如果∠A＝30°，BC与AB存在特殊的数量关系是　 　；

（ii）她将△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC，如图②，此时她证明了BC和AB的关系；请根据小敏证明的思路，补全探究的证明过程；

猜想：如果∠A＝30°，BC与AB存在特殊的数量关系是　 　；

证明：△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC，

（2）如图③，点E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上，且∠B＝∠D＝90°，连接AE、AF、EF，将△ABE、△ADF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形，连接AC，若∠EAF＝30°，AB2＝27，则△CEF的周长为　 　．

Answer 1

【答案】（1）（i）BC＝AB；（ii）BC＝AB；（2）6

【解析】

（1）（i）在AB上截取BD＝BC，可证△BCD是等边三角形，CD＝BD，∠BDC＝∠BCD＝60°，可得BD＝AD＝CD＝BC，可得结论；

（ii）由折叠的性质可得AB＝AH，∠BAC＝∠HAC＝30°，BC＝CH，可证△ABH是等边三角形，可得AB＝BH＝2BC；

（2）由折叠的性质可得AB＝AD，BE+DF＝EF，∠BAD＝2∠EAF＝60°，由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ADC，可得∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝CD，由直角三角形的性质可求BC＝3，即可求解．

解：（1）（i）BC＝AB，

理由如下：在AB上截取BD＝BC，

∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，

∴∠B＝60°，且BD＝BC，

∴△BCD是等边三角形，

∴CD＝BD，∠BDC＝∠BCD＝60°，

∴∠ACD＝30°＝∠A，

∴AD＝CD，

∴BD＝AD＝BC，

∴BC＝AB；

（ii）∵将△ABC沿AC所在的直线翻折得△AHC，

∴△ABC≌△AHC，

∴AB＝AH，∠BAC＝∠HAC＝30°，BC＝CH，

∴∠BAH＝60°，且AB＝AH，

∴△ABH是等边三角形，

∴AB＝BH，

∴BC＝BH＝AB；

（2）∵将△ABE、△ADF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与△AEF完全重合的三角形，

∴AB＝AD，BE+DF＝EF，∠BAD＝2∠EAF＝60°，

∵AB＝AD，AC＝AC，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），

∴∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝CD，

∵AB2＝27，

∴AB＝3，

∵tan∠BAC＝，

∴BC＝3＝CD，

∴△CEF的周长＝EC+CF+EF＝EC+CF+BE+DF＝BC+CD＝6．

故答案为：6．