Question

【题目】材料1：在设计人体雕塑时，存在一个分隔点，使雕塑的上部（腰以上）与下部（腰以下）之比，等于下部与全部（全身）之比，可以增加视觉美观，数学上把这个点叫“黄金分割点”． 为了研究这个点，我们在线段AB上取点C（如图1），点C把AB分成AC和CB两段，其中BC是较小的一段，现要使即可．为了简便起见，设AB=1，AC=x，则CB=1-x，代入，即，也即x2+x-1=0，解之得，．所以=，人们把这个数叫黄金分割数，点C叫“黄金分割点”．

材料2：由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的“黄金分割线”．

（1）如图2，点C是线段AB的黄金分割点（AC>CB），取线段AB的中点O，作点C关于点O的对称点，则；继续取线段AC的中点，作点关于点的对称点，试猜想点是否线段A的黄金分割点，若是，请证明，若不是，请说明理由；

（2）如图3，在平面直角坐标系中， A（-，0），B（1，0），C（4-，2），求△ABC中经过点C的“黄金分割线”解析式．

Answer 1

【答案】（1） ，点是线段A的黄金分割点，理由详见解析；（2）

【解析】

（1），根据中点及对称点的性质得到A=BC，再根据线段成比例证得点是否线段A的黄金分割点；

（2）过点C作CH⊥x轴于点H，分两种情况：①当＞时，②当＜时，分别证明点D是线段AB的黄金分割点，由此求出解析式.

（1）

点是线段A的黄金分割点，理由如下：

∵OC=O，

∴AO - O=BO-OC，

∴A=BC，

∵=，

∴=，

∴点是AC的黄金分割点，

∴ ，

同理可得

∴

∴是线段A的黄金分割点

（2）设直线CD是△ABC的黄金分割线，点D的坐标为（x,0），直线CD的解析式为：，

过点C作CH⊥x轴于点H，

，，，

①当＞时，

∵直线CD是△ABC的黄金分割线，

∴，

∴，

∴点D是线段AB的黄金分割点，

∴=，，

解之得，x=2- ，

∵直线经过D（2-，0），C（4-，2），

∴，

解之得，，

∴；

②当＜时，

∵直线CD是△ABC的黄金分割线，

∴，

∴，

∴点D是线段AB的黄金分割点，

∴=，=，

解之得，，

∵直线经过C（4-，2），D（-1,0），

∴，

解之得， ，

∴.