Question

【题目】如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接。

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，求的长。

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）长为5．

【解析】

（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；
（2）根据菱形性质求出MD=MB，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=（8-x）2+42，求出即可．

（1）证明：∵四边形是矩形，

∴，

∴，

∵在和中，

，

∴，∴，

∵，

∴四边形是平行四边形，

∵，∴平行四边形是菱形．

（2）解：

∵四边形是菱形，∴，

设长为，则，

在中，

即，解得：，所以长为5．

故答案为：（1）详见解析；（2）长为5．